最长的回文子序列
给一个字符串，找出它的最长的回文子序列的长度。例如，如果给定的序列是“BBABCBCAB”，则输出应该是7，“BABCBAB”是在它的最长回文子序列。 “BBBBB”和“BBCBB”也都是该字符串的回文子序列，但不是最长的。注意和最长回文子串的区别(参考：最长回文串)！这里说的子序列，类似最长公共子序列LCS( Longest Common Subsequence)问题，可以是不连续的。这就是LPS(Longest Palindromic Subsequence)问题。
最直接的解决方法是：生成给定字符串的所有子序列，并找出最长的回文序列，这个方法的复杂度是指数级的。下面来分析怎么用动态规划解决。重点为找出状态和状态转换方程
1）最优子结构
假设 X[0 ... n-1] 是给定的序列，长度为n. 让 L(0,n-1) 表示 序列 X[0 ... n-1] 的最长回文子序列的长度。
1. 如果X的最后一个元素和第一个元素是相同的，这时：L(0, n-1) = L(1, n-2) + 2 , 还以 “BBABCBCAB” 为例，第一个和最后一个相同，因此 L(1,n-2) 就表示蓝色的部分。
2. 如果不相同：L(0, n-1) = MAX ( L(1, n-1) , L(0, n-2) )。 以”BABCBCA” 为例，L(1,n-1)即为去掉第一个元素的子序列，L(0, n-2)为去掉最后一个元素。
有了上面的公式，可以很容易的写出下面的递归程序：
2）重叠子问题
画出上面程序的递归树(部分)，已一个长度为6 的字符串为例：
L(0, 5) |
2 |
/ \ |
3 |
/ \ |
4 |
L(1,5) L(0,4) |
5 |
/ \ / \ |
6 |
/ \ / \ |
7 |
L(2,5) L(1,4) L(1,4) L(0,3) |
可见有许多重复的计算，例如L(1,4)。该问题符合动态规划的两个主要性质: 重叠子问题 和 最优子结构 。
方法一：递归解法，可用备忘录法（变种动态规划）改进
#include<stdio.h> #include<string.h> int lps(char *seq, int i, int j) { //一个元素即为1 if (i == j) return 1; if (i > j) return 0; //因为只计算序列 seq[i ... j] // 如果首尾相同 if (seq[i] == seq[j]) return lps(seq, i + 1, j - 1) + 2; // 首尾不同 return max(lps(seq, i, j - 1), lps(seq, i + 1, j)); } /* 测试 */ int main() { char seq[] = "acmerandacm"; int n = strlen(seq); printf("The length of the LPS is %d", lps(seq, 0, n - 1)); getchar(); return 0; }
Output: The lnegth of the LPS is 5 (即为: amama)
方法二：动态规划：自下而上的打表解法：
下面通过动态规划的方法解决，通过自下而上的方式打表，存储子问题的最优解。
int lpsDp(char * str, int n){ int dp[n][n], tmp; memset(dp, 0, sizeof(dp)); for (int i = 0; i<n; i++) dp[i][i] = 1; // i 表示 当前长度为 i+1的 子序列 for (int i = 1; i<n; i++){ tmp = 0; //考虑所有连续的长度为i+1的子串. 该串为 str[j, j+i] for (int j = 0; j + i<n; j++){ //如果首尾相同 if (str[j] == str[j + i]){ tmp = dp[j + 1][j + i - 1] + 2; } else{ tmp = max(dp[j + 1][j + i], dp[j][j + i - 1]); } dp[j][j + i] = tmp; } } //返回串 str[0][n-1] 的结果 return dp[0][n - 1]; }
该算法的时间复杂度为O(n^2)。其实这个问题和 最长公共子序列 问题有些相似之处，我们可以对LCS算法做些修改，来解决此问题:
1 对给定的字符串逆序 存储在另一个数组 rev[] 中
2 再求这两个 字符串的 LCS的长度
时间复杂度也为 O(n^2)。
