一个人的数论 题解

Solution

令指数为 \(k\)

正常反演得到

\[ \sum_{d\mid n}\mu(d)d^k\sum_{i=1}^{\frac nd}i^k \]

设 \(f(x)=\sum_{i=1}^xi^k\)，它是一个关于 \(x\) 的 \(k+1\) 次多项式

求这个多项式

1. 可以插值 \(\mathcal O(n^2)\)（推荐）
2. 高斯消元（待定系数法）\(\mathcal O(n^3)\)
3. 直接伯努利数 \(\mathcal O(n^2)\)，但是很麻烦

设 \(f(x)=\sum_{i=0}^{k+1}f_ix^i\)

\[ \sum_{d\mid n}\mu(d)d^kf\left(\dfrac nd\right)\\ =\sum_{d\mid n}\mu(d)d^k\sum_{i=0}^{k+1}f_i\left(\dfrac nd\right)^i\\ =\sum_{i=0}^{k+1}f_i\sum_{d\mid n}\mu(d)d^k\left(\dfrac nd\right)^i\\ =\sum_{i=0}^{k+1}f_in^i\sum_{d\mid n}\mu(d)d^{k-i} \]

右边的 Sigma 有积性，同时注意到只用算 \(\mu(d)\not=0\) 的 \(d\) 即可

也就是对于 \(p_r^{a_r}\)，只用算两个数：\(d=1\)、\(d=p_r\)，对于其他数，可以 \(\mathcal O(1)\) 算

于是考虑一种种地加入质因子 \(p_i\)，维护当前所有数组成的 Sigma，容易维护和计算