扫描线

扫描线的精髓是通过离线、引入时间维，把静态询问降低一维、变成动态问题。

一般是先把若干询问通过可减性变成前缀询问，再离线、从左到右排序，从左到右一个一个地一边加入元素，一边回答询问。

以下是例题 + 一句话题解。（虽然可能不是真的一句话）

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1. 平面最值

二维平面上 \(n(\le10^5)\) 个点，每个点有权值 \((\le10^9)\)，\(m(\le10^5)\) 次询问 \((a,b,c)\)，求满足 \(x_i\le a\) 且 \(y_i\in[b..c]\) 的最大点权。

题解

离线、排序、离散化，需要支持加入点、求区间 $\max$。

2. 二维数点

\(n(\le10^5)\) 个数的正整数序列，\(m(\le10^5)\) 次询问下标范围 \([l..r]\) 内元素值属于 \([x..y]\) 的个数。

题解

经典题，把询问拆成两个前缀、离线，需要支持加入点、前缀求和。

3. HH 的项链

\(n(\le10^6)\) 个数的正整数序列 \(a_i(\le10^6)\)，\(m(\le10^6)\) 次询问区间 \([l..r]\) 内不同的数的个数。

题解

记录每个数上一个与它权值相同的数的位置 $las_i$，问题转化为求 $[l,r]$ 内有多少 $las_i<l$；拆分、离线、排序，需要支持加入一个数、前缀求和。

4. 连通块计数

\(n(\le10^6)\) 个点的树，点编号 \(1\sim n\)、边编号 \(1\sim n-1\)，\(m(\le10^6)\) 次询问 \(l,r\)，若只考虑编号在 \(l..r\) 中的点和边，共多少个连通块？

题解

每加一条边，连通块数就 $-1$，故考虑有多少条边 $(u,v,id)$ 有效，即 $u,v,id$ 均属于 $[l..r]$；再取个 $\max$、$\min$，变成要求两个参数属于 $[l..r]$，扫一遍即可。

5. 矩形周长、面积并

二维平面上 \(n(\le10^5)\) 个边平行于坐标轴的矩形，求覆盖的总面积、总周长，坐标绝对值 \(\le10^9\)。

题解

离散化坐标，直接扫描线，区间加、全局查一共多少位置 $>0$，所以线段树每个节点多记一个数表示区间总变化量 $c$（标记永久化），若 $c>0$ 节点值为区间长；若 $c=0$ 节点值为儿子值之和。仔细理解发现一定是对的。

注意一个很坑的地方：若两个矩形的边部分重合，要考虑重合部分周长是否算进去。