算法第三章作业

1.实践报告
1.1递归方程式：
dp[i][j] = a[i][j] + max{dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]}

定义：
dp[i][j]为：从第i行第j列元素（下标从 0 开始）到三角形底部的最大路径和; a[i][j]是三角形i+1行第j+1个数字

边界条件：
当i为三角形最后一行（即i = n-1，n为总行数）时，路径无法继续向下延伸，因此从该元素到顶部的最大路径和就是其自身值：dp[n-1][j] = a[n-1][j] （j >= 0 && j <= n-1）

1.2
给出填表法中表的维度：
二维表格dp，n行n列

填表范围：
dp[i][j], 其中要满足(i>=0 && i<=n-1), (j>=0 && j<=i)

填表顺序：
自底向上填充每行，每行从左往右填充。

原问题的最优值是第dp[0][0]表格元素

1.3 分析该算法的时间和空间复杂度
时间复杂度：需要计算的元素数量为三角形的总元素数：1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2，时间复杂度约为O(n²)。

空间复杂度：用二维数组dp存储所有中间结果，空间复杂度为O(n²)

2.你对动态规划算法的理解和体会
动态规划的核心是：用存储子问题解的方式，解决具有最优子结构（原问题最优解包含子问题最优解）和子问题重叠（子问题重复出现）的问题，避免重复计算。我认为如何描述子问题是比较难的一步。