ACM北大暑期课培训第五天
今天讲的扫描线，树状数组，并查集还有前缀树。
扫描线
扫描线的思路：使用一条垂直于X轴的直线，从左到右来扫描这个图形，明显，只有在碰到矩形的左边界或者右边界的时候，这个线段所扫描到的情况才会改变，所以把所有矩形的入边，出边按X值排序。然后根据X值从小到大去处理，就可以用线段树来维护扫描到的情况。
如果碰到矩形的入边，就把这条边加入，如果碰到出边，就拿走。
用根结点记录被覆盖的总长度 更新
插入数据的顺序：
将矩形的纵边从左到右排序，然后依次将这些纵边插入线段树。要记住哪些纵边是一个 矩形的左边(开始边)，哪些纵边是一个矩形 的右边（结束边），以便插入时，对Len（当前,本区间上有多长的 部分是落在那些矩形中的）和 Covers（本区间当前被多少个矩形 完全包含）做不同的修改。 插入一条边后,就根据根节点的Len 值增加总 覆盖面积的值。 增量是Len * 本边到下一条边的距离。 一开始，所有区间 Len = 0 Covers = 0
扫描线和线段树推荐一个博客：https://www.cnblogs.com/AC-King/p/7789013.html
例题：POJ 1151 Atlantis
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <math.h> 4 #include <set> 5 using namespace std; 6 double y[210]; 7 struct CNode 8 { 9 int L,R; 10 CNode * pLeft, * pRight; 11 double Len; //当前,本区间上有多长的部分是落在那些矩形中的 12 int Covers;//本区间当前被多少个矩形完全包含 13 }; 14 CNode Tree[1000]; 15 struct CLine 16 { 17 double x,y1,y2; 18 bool bLeft; //是否是矩形的左边 19 } lines[210]; 20 int nNodeCount = 0; 21 bool operator< ( const CLine & l1,const CLine & l2) 22 { 23 return l1.x < l2.x; 24 } 25 template <class F,class T> 26 F bin_search(F s, F e, T val) 27 { 28 //在区间[s,e)中查找 val,找不到就返回 e 29 F L = s; 30 F R = e-1; 31 while(L <= R ) 32 { 33 F mid = L + (R-L)/2; 34 if( !( * mid < val || val < * mid )) 35 return mid; 36 else if(val < * mid) 37 R = mid - 1; 38 else 39 L = mid + 1; 40 } 41 return e; 42 } 43 int Mid(CNode * pRoot) 44 { 45 return (pRoot->L + pRoot->R ) >>1; 46 } 47 void Insert(CNode * pRoot,int L, int R) 48 //在区间pRoot 插入矩形左边的一部分或全部，该左边的一部分或全部覆盖了区间[L,R] 49 { 50 if( pRoot->L == L && pRoot->R == R) 51 { 52 pRoot->Len = y[R+1] - y[L]; 53 pRoot->Covers ++; 54 return; 55 } 56 if( R <= Mid(pRoot)) 57 Insert(pRoot->pLeft,L,R); 58 else if( L >= Mid(pRoot)+1) 59 Insert(pRoot->pRight,L,R); 60 else 61 { 62 Insert(pRoot->pLeft,L,Mid(pRoot)); 63 Insert(pRoot->pRight,Mid(pRoot)+1,R); 64 } 65 if( pRoot->Covers == 0) //如果不为0，则说明本区间当前仍然被某个矩形完全包含，则不能更新 Len 66 pRoot->Len = pRoot->pLeft ->Len + pRoot->pRight ->Len; 67 } 68 void Delete(CNode * pRoot,int L, int R) 69 { 70 //在区间pRoot 删除矩形右边的一部分或全部，该矩形右边的一部分或全部覆盖了区间[L,R] 71 if( pRoot->L == L && pRoot->R == R) 72 { 73 pRoot->Covers --; 74 if( pRoot->Covers == 0 ) 75 if( pRoot->L == pRoot->R ) 76 pRoot->Len = 0; 77 else 78 pRoot->Len = pRoot->pLeft ->Len + pRoot->pRight ->Len; 79 return ; 80 } 81 if( R <= Mid(pRoot)) 82 Delete(pRoot->pLeft,L,R); 83 else if( L >= Mid(pRoot)+1) 84 Delete(pRoot->pRight,L,R); 85 else 86 { 87 Delete(pRoot->pLeft,L,Mid(pRoot)); 88 Delete(pRoot->pRight,Mid(pRoot)+1,R); 89 } 90 if( pRoot->Covers == 0) //如果不为0，则说明本区间当前仍然被某个矩形完全包含，则不能更新 Len 91 pRoot->Len = pRoot->pLeft ->Len + pRoot->pRight ->Len; 92 } 93 void BuildTree( CNode * pRoot, int L,int R) 94 { 95 pRoot->L = L; 96 pRoot->R = R; 97 pRoot->Covers = 0; 98 pRoot->Len = 0; 99 if( L == R) 100 return; 101 nNodeCount ++; 102 pRoot->pLeft = Tree + nNodeCount; 103 nNodeCount ++; 104 pRoot->pRight = Tree + nNodeCount; 105 BuildTree( pRoot->pLeft,L,(L+R)/2); 106 BuildTree( pRoot->pRight,(L+R)/2+1,R); 107 } 108 int main() 109 { 110 int n; 111 int i,j,k; 112 double x1,y1,x2,y2; 113 int yc,lc; 114 int nCount = 0; 115 int t = 0; 116 while(true) 117 { 118 scanf("%d",&n); 119 if( n == 0) break; 120 t ++; 121 yc = lc = 0; 122 for( i = 0; i < n; i ++ ) 123 { 124 scanf("%lf%lf%lf%lf", &x1, &y1,&x2,&y2); 125 y[yc++] = y1; 126 y[yc++] = y2; 127 lines[lc].x = x1; 128 lines[lc].y1 = y1; 129 lines[lc].y2 = y2; 130 lines[lc].bLeft = true; 131 lc ++; 132 lines[lc].x = x2; 133 lines[lc].y1 = y1; 134 lines[lc].y2 = y2; 135 lines[lc].bLeft = false; 136 lc ++; 137 } 138 sort(y,y + yc); 139 yc = unique(y,y+yc) - y; 140 nNodeCount = 0; 141 //yc 是横线的条数，yc- 1是纵向区间的个数，这些区间从0 142 //开始编号，那么最后一个区间 143 //编号就是yc - 1 -1 144 BuildTree(Tree, 0, yc - 1 - 1); 145 sort(lines,lines + lc); 146 double Area = 0; 147 for( i = 0; i < lc - 1 ; i ++ ) 148 { 149 int L = bin_search( y,y+yc,lines[i].y1) - y; 150 int R = bin_search( y,y+yc,lines[i].y2) - y; 151 if( lines[i].bLeft ) 152 Insert(Tree,L,R-1); 153 else 154 Delete(Tree,L,R-1); 155 Area += Tree[0].Len * (lines[i+1].x - lines[i].x); 156 } 157 printf("Test case #%d\n",t); 158 printf("Total explored area: %.2lf\n",Area); 159 printf("\n",Area); 160 } 161 return 0; 162 }
树状数组
只能解决单点更新、区间求和问题。
可以快速求出任意区间和。
能力比线段树弱。 它能解决的问题线段树都能解决，是线段树能解决的问题的子集。
它的好处： 1.写起来简单 2.效率高（常数小） ps:线段树常数大 两者区间查询的时间复杂度都是O(logn）
三个重要的函数 ：
int lowerbit(int x) { return x&-x; } void Update(int i,int v) // 初始化与单点修改 { while(i <= n) { c[i] += v ; i += lowbit(i) ; } } int Sum(int i) // 区间求和 { int res = 0 ; while(i) { res += c[i] ; i -= lowbit(i) ; } return res ; }
lowbit(x)： 只保留x的二进制最右边的1，其余位都变为0后的值
对于序列a，我们设一个数组C C[i] = a[i – 2 k + 1] + … + a[i] C即为a的树状数组
k为i在二进制下末尾0的个数 2k就是i 保留最右边的1，其余位全变0
i从1开始算！
C[i] = a[i-lowbit(i)+1] + …+ a[i] C包含哪些项看上去没有规律
C1=A1
C2=A1+A2
C3=A3
C4=A1+A2+A3+A4
C5=A5
C6=A5+A6
C7=A7
C8=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
…………
C16=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10+ A11+A12+A13+A14+A15+A16
树状数组图示
将C[]数组的结点序号转化为二进制
时间复杂度：建数组： O(n) 更新： O(logn) 局部求和：O(logn)
树状数组推荐博客：https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6380245.html
POJ题目推荐： 2182, 2352, 1177, 3667,3067
并查集
3个操作：
1.合并两个集合
2.查询一个元素在哪个集合
3.查询两个元素是否属于同一集合
核心：查一个元素的树根（时间复杂度为常数）
实际应用代码：
1 int par[]; 2 int GET_ROOT(int a)//查询一个元素在哪个集合 路径压缩 3 { 4 if (par[a]!=a) 5 par[a] = GET_ROOT(par[a]); 6 return par[a]; 7 } 8 int query(int a,int b)//查询两个元素是否属于同一集合 9 { 10 return GET_ROOT(a)==GET_ROOT(b); 11 } 12 void merge(int a,int b)//合并两个集合 13 { 14 par[GET_ROOT(a)] = GET_ROOT(b); 15 }
有时候需要添加数组记录，例如添加sum数组记录每个集合有多少元素。
在合并时进行维护
做题时主要理清怎样算同一集合。
例题：1.POJ 1611 The Suspects
2.POJ 1988 Cube Stacking
3.POJ 1182 食物链
DFA（一部分）
多模式匹配
trie图是一种DFA，可以由trie树为基础构造出来， 对于插入的每个模式串，其插入过程中使用的最后一 个节点都作为DFA的一个终止节点。 如果要求一个母串包含哪些模式串，以用母串作为 DFA的输入，在DFA 上行走，走到终止节点，就意 味着匹配了相应的模式串(没能走到终止节点，并不 意味着一定不包含模式串)。
避免母串指针回溯 --> 记住哪些模式串的哪个前缀已经被匹配 -->前缀指针
前缀指针：仿照KMP算法的Next数组， 我们也对树上的每一个节点 建立一个前缀指针。这个前 缀指针的定义和KMP算法中 的next数组相类似，从根节 点沿边到节点p我们可以得 到一个字符串S，节点p的前 缀指针定义为：指向树中出 现过的S的最长的后缀(不能等于S)。
