多项式求逆

• 直接套牛顿迭代的式子，递归的式子就是

\[f(x)=f_0(x)(2-h(x)f_0(x)) \]

给定序列 \(g_1,...,g_{n}\) ，求 \(f_0,...,f_{n}\)，其中 \(f_i=\sum_{j=1}^i f_{i-j}g_j\)，其中边界为 \(f_0\)

• 也就是每一项是由前面的项决定的，这是分治 FFT 的模板题，考虑用多项式求逆做

• 设 \(F\) 为 \(f\) 的生成函数，设 \(G\) 为 \(g\) 的生成函数

\[\begin{aligned} F\times G&=\sum_{i=0}^\infty f_i\sum_{j=0}^\infty g_j x^{i+j}\\ &=\sum_{k=0}^\infty(\sum_{i=0}^k f_i g_{k-i}) x^k\\ \end{aligned} \]

• 当 \(k>0\) 的时候，\([x^k]F\times G =f(k)\)

• 当 \(k=0\) 的时候，为 \(0\)

\[F\times G+f_0=F \]

\[F=\frac{f(0)}{1-G} \]

• 那么多项式求逆做就可以了