关于递归的一些经验

可能很多人在大一的时候,就已经接触递归了,不过,我相信很多人刚开始接触递归的时候,都是一脸懵逼的,因为我当初也是懵逼,递归给我的感觉就是真的太神奇太奇妙了!

可能也有一大部分人知道递归,也能看的懂递归,但在实际做题过程中,却不知道怎么使用,因为不容易理解所以有时候还容易被搞晕。因此,我想写一篇文章,谈谈我的一些经验,或许,能够给你们带来一些帮助。这里我就从易到难开始讲解。

递归的三大要素

第一要素:明确你这个函数想要干什么

对于递归,我认为很重要的一件事就是,这个函数的功能是什么,它要完成什么样的一件事,而这个,是完全由你自己来定义的。即,我们先不管函数里面的代码是什么,而是要先明白,这个函数是要用来干什么。

例如,我定义了下面这个函数:

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n) {

}

这个函数的功能是算 n 的阶乘。好了,我们已经定义了一个函数,并且定义了它的功能是什么,接下来我们看第二要素。

第二要素:寻找递归结束条件

所谓递归,就是会在函数内部代码中,调用这个函数本身,所以,我们必须要找出递归的结束条件,不然的话,会一直调用自己,导致栈溢出。也就是说,我们需要找出当参数为某个值时,递归结束,然后直接把结果返回,这个时候我们必须能根据这个参数的值,能够直接知道函数的结果是什么。

例如,上面那个例子,当 n = 1 时,f(1) = 1。完善我们函数内部的代码,把第二要素加进代码里面,如下:

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n) {
    if(n == 1) 
        return 1;
}

有人可能会说,当 n = 2 时,那我们可以直接知道 f(n) 等于多少啊,那我可以把 n = 2 作为递归的结束条件吗?

当然可以,只要你觉得当参数为何值时,能够直接知道函数的结果的时候,那么你就可以把这个参数作为结束的条件,所以下面这段代码也是可以的:

// 算 n 的阶乘(假设n>=2)
int f(int n) {
    if(n == 2) 
        return 2;
}

注意我代码里面写的注释,假设 n >= 2,因为如果 n = 1时,会被漏掉,当 n <= 2时,f(n) = n,所以为了更加严谨,我们可以写成这样:

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n) {
    if(n <= 2) 
        return n;
}

第三要素:找出函数的等价关系式

第三要素就是我们要不断缩小参数的范围,缩小之后,我们可以通过一些辅助的变量或操作,使原函数的结果不变。

例如,f(n) 这个范围比较大,我们可以让 f(n) = n * f(n - 1)。这样,范围就由 n 变成了 n-1 ,范围变小了,并且为了让原函数f(n)的结果不变,我们需要让 f(n-1) 乘以 n。

说白了,就是要找到原函数的一个等价关系式,f(n) 的等价关系式为 n * f(n - 1),即f(n) = n * f(n - 1)。

找出了这个等价,继续完善我们的代码,我们把这个等价式写进函数里。如下:

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n) {
    if(n <= 2)
        return n;
    
    // 把 f(n) 的等价操作写进去
    return f(n - 1) * n;
}

至此,递归三要素都已经写进了代码里,所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。

这就是递归最重要的三要素,每次做递归的时候,你就强迫自己试着去寻找这三个要素。

下面来看几个案例。

案例一:斐波那契数列

斐波那契数列的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34….,即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…..,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

1、递归函数的功能

假设 f(n) 的功能是求第 n 项的值,代码如下:

int f(int n) {

}

2、找出递归结束的条件

显然,当 n = 1 或者 n = 2 ,我们可以轻易着知道结果 f(1) = f(2) = 1。所以递归结束条件可以为 n <= 2。代码如下:

int f(int n) {
    if(n <= 2)
        return 1;
}

3、找出函数的等价关系式

题目已经把等价关系式给我们了,所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)。

所以最终代码如下:

int f(int n) {
    // 1.先写递归结束条件
    if(n <= 2)
        return 1;
    
    // 2.接着写等价关系式
    return f(n - 1) + f(n - 2);
}

搞定,是不是很简单?

案例二:小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

1、递归函数的功能

假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法,代码如下:

int f(int n) {

}

2、找出递归结束的条件

我说了,求递归结束的条件,你直接把 n 压缩到很小很小就行了,因为 n 越小,我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少,所以当 n = 1时,你知道 f(1) 为多少吧?够直观吧?即 f(1) = 1。代码如下:

int f(int n) {
    if(n == 1) 
        return 1;
}

3、找出函数的等价关系式

每次跳的时候,小青蛙可以跳一个台阶,也可以跳两个台阶,也就是说,每次跳的时候,小青蛙有两种跳法。

第一种跳法:第一次跳了一个台阶,那么还剩下n-1个台阶还没跳,剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。

第二种跳法:第一次跳了两个台阶,那么还剩下n-2个台阶还没,剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。

所以,小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了,即 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)。至此,等价关系式就求出来了。于是写出代码:

int f(int n) {
    if(n == 1) {
        return 1;

    return f(n - 1) + f(n - 2);
}

大家觉得上面的代码对不对?

答是不大对,当 n = 2 时,显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道,f(0) = 0,按道理是递归结束,不用继续往下调用的,但我们上面的代码逻辑中,会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用,进入死循环

这也是我要和你们说的,关于递归结束条件是否够严谨的问题,有很多人在使用递归的时候,由于结束条件不够严谨,导致出现死循环。也就是说,当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候,可以把结束条件写进代码,然后进行第三步,但是需要注意的是,当我们第三步找出等价函数之后,还得再返回去第二步,根据第三步函数的调用关系,会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面,f(n-2)这个函数的调用,有可能出现 f(0) 的情况,导致死循环,所以我们把它补上。代码如下:

int f(int n) {
    //f(0) = 0,f(1) = 1,等价于 n<=1时,f(n) = n。
    if(n <= 1)
        return n;

    ruturn f(n - 1) + f(n - 2);
}

有人可能会说,我不知道我的结束条件有没有漏掉怎么办?别怕,多练几道就知道怎么办了。

案例3:反转单链表。

反转单链表。例如链表为:1->2->3->4,反转后的链表为: 4->3->2->1

链表的节点定义如下:

class Node{
    int data;
    Node next;
}

1、递归函数的功能

假设函数 reverseList(head) 的功能是反转单链表,其中 head 表示链表的头节点。代码如下:

Node reverseList(Node head) {

}

2. 寻找结束条件

当链表只有一个节点,或者如果是空表时,直接把 head 返回。代码如下:

Node reverseList(Node head) {
    if(head == null || head.next == null) 
        return head;
}

3. 寻找等价关系

这个题目的等价关系不像 n 是个数值那样,比较容易寻找。但是我告诉你,在等价关系中,一定是范围不断在缩小的。对于链表来说,就是链表的节点个数不断在变少。所以,如果你实在找不出,你就先对 reverseList(head.next) 递归走一遍,看看结果是怎样的。例如有链表节点如下:

我们就缩小范围,先对 2->3->4递归下试试,即代码如下

Node reverseList(Node head) {
    if(head == null || head.next == null)
        return head;
    
    // 我们先把递归的结果保存起来,先不返回,因为我们还不清楚这样递归是对还是错
    Node newList = reverseList(head.next);
}

我们在第一步的时候,就已经定义了 reverseList函数的功能:把一个单链表反转。因此,我们对 2->3->4反转之后的结果应该是这样的:

我们把 2->3->4 递归成 4->3->2。不过,1 这个节点我们并没有去碰它,所以 1 的 节点仍然是连接2节点。

接下来呢?该怎么办?

其实,接下来就简单了,我们接下来只需要把节点 2 的 next 指向 1,然后把 1 的 next 指向 null,不就行了?,即通过改变 newList 链表之后的结果如下:

也就是说,reverseList(head) 等价于 reverseList(head.next) + 改变一下1,2两个节点的指向。好了,等价关系就这样找出来了,代码如下(有详细的解释):

 //用递归的方法反转链表
 public static Node reverseList2(Node head) {
     // 1.递归结束条件,当head只有一个节点或为空时,直接返回head
     if (head == null || head.next == null) 
              return head;
          
         // 递归反转 子链表
         Node newList = reverseList2(head.next);
         // 改变 1,2节点的指向
         // 通过 head.next获取节点2
         Node t1  = head.next;
         // 让 2 的 next 指向 1
         t1.next = head;
         // 1 的 next 指向 null
         head.next = null;
         // 最后把反转之后的链表直接返回
         return newList;
    }

这道题的第三步看的很懵?正常,因为你做还是太少,可能没有想到还可以这样,多练几道就可以了。但是,我希望通过这三道题,给了你以后用递归做题时的一些思路,你以后做题可以按照我这个模式去想。通过一篇文章是不可能掌握递归的,还得多练,我相信,只要你认真看我的这篇文章,多看几次,一定能找到一些思路!

接下来我讲讲有关递归的一些优化。

有关递归的一些优化思路

1. 考虑是否重复计算

如果你使用递归的时候不进行优化,是有非常多的子问题被重复计算的。

啥是子问题? f(n-1),f(n-2)….就是 f(n) 的子问题了。

例如对于案例2那道题,f(n) = f(n-1) + f(n-2)。递归调用的状态图如下:

当进行递归计算的时候,重复计算了两次 f(4),五次 f(2)...... 这是非常恐怖的,n 越大,重复计算的就越多,所以我们必须进行优化。

如何优化?一般我们可以把我们计算的结果保存起来,例如把 f(4) 的计算结果保存起来,当再次要计算 f(4) 的时候,我们先判断一下,之前是否计算过,如果计算过,直接把 f(4) 的结果取出来就可以了,没有计算过的话,再递归计算。

用什么保存呢?可以用数组或者 HashMap 保存,我们用数组来保存把,把 n 作为我们的数组下标,f(n) 作为值,例如 arr[n] = f(n)。f(n) 还没有计算过的时候,我们让 arr[n] 等于一个特殊值,例如 arr[n] = -1。

当我们要判断的时候,如果 arr[n] = -1,则证明 f(n) 没有计算过,否则, f(n) 就已经计算过了,且 f(n) = arr[n]。直接把值取出来就行了。代码如下:

// 我们假定arr数组已经初始化好了
int f(int n) {
    if(n <= 1)
        return n;
    
    //先判断有没计算过
    if(arr[n] != -1)
        //计算过,直接返回
        return arr[n];
    else {
        // 没有计算过,递归计算,并且把结果保存到arr数组里
        arr[n] = f(n - 1) + f(n - 1);
        reutrn arr[n];
    }
}

也就是说,使用递归的时候,必须要考虑有没有重复计算,如果重复计算了,一定要把计算过的状态保存起来。

2. 考虑是否可以自底向上

对于递归问题,我们一般都是从上往下递归的,直到递归到最底,再一层一层着把值返回。

不过,有时候当 n 比较大的时候,例如当 n = 10000 时,那么必须要往下递归10000层直到 n <=1 才将结果慢慢返回,如果n太大的话,可能栈空间会不够用。

对于这种情况,其实我们是可以考虑自底向上的做法的。例如我知道f(1) = 1和f(2) = 2,那么我们就可以推出 f(3) = f(2) + f(1) = 3。从而可以推出f(4),f(5)等直到f(n)。因此,我们可以考虑使用自底向上的方法来取代递归,代码如下:

public int f(int n) {
       if(n <= 2)
           return n;
    
       int f1 = 1;
       int f2 = 2;
       int sum = 0;

       for (int i = 3; i <= n; i++) {
           sum = f1 + f2;
           f1 = f2;
           f2 = sum;
       }
       return sum;
   }

这种方法被称之为递推,也叫迭代循环

最后总结

其实,递归不一定总是从上往下,也是有很多是从下往上的,例如 n = 1 开始,一直递归到 n = 1000,例如一些排序组合。对于这种从下往上的,也是有对应的优化技巧,不过,我就先不写了,后面再慢慢写。

posted @ 2019-04-11 19:34 murphy_gb 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏