转：对卷积(convolution)的解释

啰嗦开场白

读本科期间，信号与系统里面经常讲到卷积(convolution)，自动控制原理里面也会经常有提到卷积。硕士期间又学了线性系统理论与数字信号处理，里面也是各种大把大把卷积的概念。至于最近大火的深度学习，更有专门的卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)，在图像领域取得了非常好的实际效果，已经把传统的图像处理的方法快干趴下了。啰啰嗦嗦说了这么多卷积，惭愧的是，好像一直以来对卷积的物理意义并不是那么清晰。一是上学时候只是简单考试，没有仔细思考过具体前后的来龙去脉。二是本身天资比较愚钝，理解能力没有到位。三则工作以后也没有做过强相关的工作，没有机会得以加深理解。趁着年前稍微有点时间，查阅了一些相关资料，力争将卷积的前世今生能搞明白。

1.知乎上排名最高的解释

首先选取知乎上对卷积物理意义解答排名最靠前的回答。 
不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。 
这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。

直接看图，不信看不懂。以离散信号为例，连续信号同理。

已知x[0] = a, x[1] = b, x[2]=c 

已知y[0] = i, y[1] = j, y[2]=k 

下面通过演示求x[n] * y[n]的过程，揭示卷积的物理意义。

第一步，x[n]乘以y[0]并平移到位置0： 

第二步，x[n]乘以y[1]并平移到位置1 

第三步，x[n]乘以y[2]并平移到位置2： 

最后，把上面三个图叠加，就得到了x[n] * y[n]： 

简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。 
从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。

对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应 加权叠加，就直接得到了输出信号。

通俗的说： 
在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。 
这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。 
这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。 
这正是单位响应是如此重要的原因。

以上是知乎上排名最高的回答。比较简单易懂。

有个回复也可以参考： 
楼主这种做法和通常教材上的区别在于：书上先反褶再平移，把输入信号当作一个整体，一次算出一个时间点的响应值；而楼主把信号拆开，一次算出一个信号在所有时间的响应值，再把各个信号相加。两者本质上是相同的。

 

转：http://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/54729807