矩阵相关
矩阵相关运算
结构体定义
将矩阵运算定义成结构体，并重载相应的运算符，可以简化后续的运算。
typedef long long ll;
const int N = 110;
int n, mod;
struct Mat {
int n, m; //矩阵的行和列
int a[N][N];
void zero() { //0矩阵
memset(a, 0, sizeof(a));
}
void one() { //n*n的单位矩阵
zero();
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i][i] = 1;
}
void resize(int x, int y) { //设置矩阵大小
n = x; m = y;
}
//矩阵加，第二个const表示不能修改成员变量的值，对数据起到保护作用，下同
Mat operator +(const Mat &A) const {
Mat res;
res.resize(n, m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
res.a[i][j] = (a[i][j] + A.a[i][j]) % mod;
}
}
return res;
}
//矩阵减
Mat operator -(const Mat &A) const {
Mat res;
res.resize(n, m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
res.a[i][j] = (a[i][j] - A.a[i][j]) % mod;
}
}
return res;
}
//矩阵乘
Mat operator *(const Mat &A) const {
Mat res;
res.resize(n, A.m);
res.zero();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= A.m; j++) {
for (int k = 1; k <= m; k++) {
res.a[i][j] = ((ll)a[i][k] * A.a[k][j] + res.a[i][j]) % mod;
}
}
}
return res;
}
//输出矩阵
void ouput() {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
printf("%d ", a[i][j]);
}
putchar('\n');
}
}
};
矩阵快速幂
可以利用上面定义好的结构，方便写出矩阵快速幂的形式。
例 1：计算斐波那契数
【问题描述】
计算斐波那契数列的第 \(n\) 项 \(F_n\)（\(1\le n\le 2\times 10^9\)）。
【分析】
根据斐波那契数列的递推式 \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，我们可以构建一个 \(2\times 2\) 的矩阵来表示从 \(F_n,F_{n+1}\) 到 \(F_{n+1},F_{n+2}\) 的变换。于是在计算这个矩阵的 \(n\) 次幂的时侯，我们使用快速幂的思想，可以在 \(\Theta(\log n)\) 的时间内计算出结果。
根据斐波那契数列 递推公式的矩阵形式：
我们定义初始矩阵
那么，
则 \(F_n\) 就等于 \(ans\) 矩阵的第一行第一列元素。
为什么要乘上 \(\text{base}\) 矩阵的 \(n-2\) 次方而不是 \(n\) 次方呢？因为 \(F_1, F_2\) 是不需要进行矩阵乘法就能求的。也就是说，如果只进行一次乘法，就已经求出 \(F_3\) 了，手算一下就能理解了。
【示例代码】
//矩阵快速幂
Mat qpow(Mat A, int b) {
Mat res;
res.resize(2, 2);
res.one();
while (b) {
if (b & 1) {
res = res * A;
}
A = A * A;
b >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
Mat mat;
scanf("%d%d", &n, &mod);
//初始化矩阵
mat.resize(2, 2);
mat.a[1][1] = mat.a[1][2] = mat.a[2][1] = 1;
mat.a[2][2] = 0;
mat = qpow(mat, n-2);
int ans = (mat.a[1][1] + mat.a[2][1]) % mod;
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
例 2：计算递推式
【问题描述】
给定递推式 \(F_n=F_{n-1}+F_{n-3}\)，计算数列的第 \(n\) 项 \(F_n\)（\(1\le n\le 2\times 10^9\)）。
【分析】
按照上题的思路，我们看到 \(F_n\) 只与前面两项有关，因此直接可以想到一个写法：
但是此时发现，后面还有一项 \(F_{n-2}\) 无法直接通过 \(F_{n-1}\) 和 \(F_{n-3}\) 得到，且两项之间隔一项 \(F_{n-2}\)，因此我们对等号前面的列向量再加一项 \(F_{n-2}\)，后面加一项 \(F_{n-2}\)，可以使整个式子变得完整，得到：
由递推式可得：
我们把对应的系数写成矩阵，则：
剩下的就是痛快地跑矩阵快速幂了。
例 3：计算递推式（加强版）
【问题描述】
给定递推式 \(F_n=aF_{n-1}+bF_{n-2}+c\times n+d*e^n\)，计算数列的第 \(n\) 项 \(F_n\)（\(1\le n\le 2\times 10^9\)），其中 \(a,b,c,d,e\) 为常数。
【分析】
\(F_n\) 和 \(F_{n-1},F_{n-2},n\) 有关，考虑构造一个矩阵描述状态。
但是如果矩阵仅有这三个元素 \(\begin{bmatrix}F_n\\ F_{n-1}\\ n\end{bmatrix}\) 是难以构造出转移方程的，因为 \(n\) 变换成 \(n+1\) 需要加 \(1\)，而 \(e^n\) 又是幂的形式，这两种无法用前面的三项描述出来。因此考虑构造一个更大的矩阵。
我们可以把每个与 \(n\) 有关的项看成一个独立的元素，并且由 \(n\) 变换成 \(n+1\) 还要加 \(1\)，所以我们需要加再加一个元素 \(1\)。此时我们希望的是由 \(\begin{bmatrix}F_{n-1}\\ F_{n-2}\\ n\\ e^n\\ 1\end{bmatrix}\) 变换成 \(\begin{bmatrix}F_{n}\\ F_{n-1}\\ n+1\\ e^{n+1}\\ 1\end{bmatrix}\)。
由
因此我们得到变换矩阵为
剩下的又是痛快地跑矩阵快速幂了。
