算法第三章作业

动态规划求解数字三角形问题 实践报告

1. 动态规划求解步骤分析

1.1 最优子结构与递归方程式

问题定义：
数字三角形中从顶部到底部的路径，使路径上数字之和最大。每一步只能走到左下方或右下方相邻的数字。

递归方程式：
dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])

方程式说明：
dp[i][j] 表示从位置 (i,j) 到底部的最大路径和
triangle[i][j] 是当前位置的数字
max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) 表示选择左下方或右下方中较大的路径

边界条件：

dp[n-1][j] = triangle[n-1][j] (最后一行)

1.2 填表法分析

表的维度：二维表格 dp[n][n]，其中 n 是三角形的行数

填表范围：
行范围：从 n-1 到 0（自底向上）
列范围：第 i 行从 0 到 i

填表顺序：自底向上，从最后一行开始逐行向上计算

原问题的最优值：dp[0][0]（从顶部到底部的最大路径和）

1.3 算法复杂度分析

时间复杂度：O(n²)
需要填充 n(n+1)/2 个表格元素
每个元素的计算时间为 O(1)

空间复杂度：O(n²)
需要 n×n 的二维数组存储中间结果
可优化为 O(n) 使用滚动数组

2. 对动态规划算法的理解和体会

通过数字三角形问题的求解，我对动态规划有了更深入的理解：

1. 最优子结构是关键特征。问题的最优解包含子问题的最优解，这使得我们可以通过组合子问题的解来构造原问题的解。

2. 重叠子问题让记忆化变得有意义。在递归求解过程中，很多子问题被重复计算，动态规划通过表格存储避免了重复计算。

3. 自底向上的填表方法通常比自顶向下的记忆化搜索更高效，因为它避免了递归调用的开销。

4. 状态定义很重要。合理定义状态和状态转移方程是解决问题的核心。

5. 动态规划不仅是一种算法，更是一种思维方式。它教会我将复杂问题分解，通过解决小问题来构建大问题的解。

数字三角形问题很好地体现了动态规划的基本思想，是理解这一重要算法范式的经典例题。