[哈希表, 滑动窗口] 统计好子数组的数目

题目

2537. 统计好子数组的数目

给你一个数组 \(a\) 和一个整数 \(k\)，返回 \(a\) 中 好子数组的数目。

定义好子数组：

• 至少有 \(k\) 对下标满足：\(i < j\) 且 \(a[i] = a[j]\)。

注意：子数组是原数组中一段连续非空的元素序列。

• \(1 ≤ n ≤ 1e5\)
• \(1 ≤ a[i], k ≤ 1e9\)

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观察数据范围 \(1 ≤ n ≤ 1e5\)，那么算法的时间复杂度考虑 \(O(n)\) 或 \(O(nlogn)\)。最近两天做多了枚举，第一反应就是 枚举右，维护左。那么深入思考一下能否枚举吧。

• 考虑枚举 \(a_i\)，那么我们维护 \(i\) 左侧的所有元素个数 \(cnt[a_j], j ≤ i\)。
• 观察到：当我们枚举到 \(a_i\) 时，如果 \(cnt[a_i]\) 不为 \(0\)，那么相等数对的个数（不妨定义为 \(pairs\)）就增加 \(cnt[a_i]\) 个，也就是说枚举 \(a_i\) 能够使得 \(pairs\) 不变或增加。

现在的问题是：我们只有 \([0: i]\) 的信息，无法获取子数组的信息。

• 什么数据结构/算法能够在 \(O(n)\) 的时间内获取子数组的信息呢？

答案是滑动窗口。

方法一：哈希表 + 滑动窗口

思路：

1. 滑动窗口要满足窗口维护的内容有单调性。
   • 不难想到，右侧加入元素 能够使得窗口中的 \(pairs\) 不变或增加；
   • 同时，左侧减少元素 能够使得窗口中的 \(pairs\) 不变或减少；

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2. 如何计算满足条件的子数组数目？

观察官方用例：

• 输入：\(A\) = \([3, 1, 4, 3, 2, 2, 4]\), \(k = 2\).
• 输出：\(4\)
• 解释：总共有 \(4\) 个不同的好子数组。

（1）\([3,1,4,3,2,2]\) 的 \(pairs\) 为 \(2\)，此时 \(left = 0, i = 5\)；
（2）\([3,1,4,3,2,2,4]\) 的 \(pairs\) 为 \(3\)，此时 \(left=0, i = 6\)；
（3）\([1,4,3,2,2,4]\) 的 \(pairs\) 为 \(2\)，此时 \(left=1, i=6\)；
（4）\([4,3,2,2, 4]\) 的 \(pairs\) 为 \(2\)，此时 \(left=2, i = 6\)；

对于 \((2, 3, 4)\) 来说，我们能够发现这三个子数组有相同的后缀 \([4,3,2,2,4]\)。恰好 \([4,3,2,2,4]\) 是最后一个满足 \(pairs ≥ k\) 的窗口子数组。

通用地认为，\([left, right]\) 是枚举 \(right\) 为窗口右侧的情况下最后一个满足 \(pairs ≥ k\) 的窗口。

• 如果 \(left\) 再向右移动一位，那么 \([left, right]\) 就不满足条件了。

• 但是，\([left - 1, right]\) 能够满足条件，更不必说 \([0:left-1, right]\) 都能满足条件。

• 也就是说，当右端点固定在 \(right\) 时，左端点在 \(0,1,2,…,left−1\) 的所有子数组都是满足要求的，这一共有 \(left\) 个子数组。

代码

long long countGood(vector<int> &a, int k) {
  ll ans = 0;
  unordered_map<int, int> cnt;
  int pairs = 0, left = 0;
  for (int x : a) {
    // 当 x 进入, 会增加 cnt[x] 个相等数对
    pairs += cnt[x]++;
    while (pairs >= k) {
      // 当 a[left] 退出, 会减少 cnt[a[left]] - 1 个相等数对
      cnt[a[left]]--;
      pairs -= cnt[a[left]];
      left++;
    }
    ans += left;
  }
  return ans;
}

复杂度

• 时间复杂度：\(O(n)\)
• 空间复杂度：\(O(n)\)

参考题型

• 滑动窗口与双指针（定长/不定长/单序列/双序列/三指针/分组循环）
  • 「§2.3.1 越长越合法」