组合数
拓展lucas定理转载自clove大佬
如果你不知道排列组合是什么东西......
排列 A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!
组合 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!
基本公式
C(n,m)=C(n,n-m)
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)
范德蒙恒等式
现在开始进入正题
什么?你以为我要讲OI题吗
Too young Too simple!
你还是自己去《五年高考,三年模拟》找几道排列组合题做做吧
组合数1
t组询问,求C(n,m)%p
t<=10^5,n,m<=10^6
p是质数
预处理出1~n的逆元,直接计算n!*inv[m!]*inv[(n-m)!]
如果你不会求逆元
组合数2
t<=10^5,n,m<=10^3
p不一定是质数
因为p不是质数,所以不能递推求逆元
可以利用公式C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)预处理
组合数3
t<=10^5,n,m<=10^18,p<=10^6
p是质数
wow,n,m怎么这么大
这里我们要介绍一个新的定理——lucas定理
假如p为质数,那么:C(n,m)=C(n div p,m div p)*C(n%p,m%p)
直接按照上述规则不断迭代即可
在做组合4之前,推荐你看一下中国剩余定理求模线性方程
#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; #define LL long long LL n,m,MOD,ans; LL fast_pow(LL a,LL p,LL Mod) { LL ans=1LL; for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod) if (p&1) ans=ans*a%Mod; return ans; } void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if (!b) x=1LL,y=0LL; else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x; } LL inv(LL A,LL Mod) { if (!A) return 0LL; LL a=A,b=Mod,x=0LL,y=0LL; exgcd(a,b,x,y); x=((x%b)+b)%b; if (!x) x+=b; return x; } LL Mul(LL n,LL pi,LL pk) { if (!n) return 1LL; LL ans=1LL; if (n/pk) { for (LL i=2;i<=pk;++i) if (i%pi) ans=ans*i%pk; ans=fast_pow(ans,n/pk,pk); } for (LL i=2;i<=n%pk;++i) if (i%pi) ans=ans*i%pk; return ans*Mul(n/pi,pi,pk)%pk; } LL C(LL n,LL m,LL Mod,LL pi,LL pk) { if (m>n) return 0LL; LL a=Mul(n,pi,pk),b=Mul(m,pi,pk),c=Mul(n-m,pi,pk); LL k=0LL,ans; for (LL i=n;i;i/=pi) k+=i/pi; for (LL i=m;i;i/=pi) k-=i/pi; for (LL i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi; ans=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*fast_pow(pi,k,pk)%pk; return ans*(Mod/pk)%Mod*inv(Mod/pk,pk)%Mod; } int main() { scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&MOD); for (LL x=MOD,i=2;i<=MOD;++i) if (x%i==0) { LL pk=1LL; while (x%i==0) pk*=i,x/=i; ans=(ans+C(n,m,MOD,i,pk))%MOD; } printf("%I64d\n",ans); }