「数学」欧拉函数

定义

\(\phi(n)\)为小于等于\(n\)且和\(n\)互质的数的个数（包括\(1\))

通项

\[\phi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})……(1-\frac{1}{p_m}) \]

其中\(p_1,p_2……p_m\)是\(n\)的所有质因数\(\phi(1)=1\)

\[\phi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i}) \]

性质

\(1.\)当\(n\)和\(m\)互质时，\(\phi(n*m)=\phi(n)*\phi(m)\)
根据通项很好证明

\(2.\)若\(p|i\),则\(\phi(i*p)=p*\phi(i)\)
根据通项很好证明

\(3.\)对于互质的\(a\)和\(m\)，有\(a^{\phi(m)}≡1 (\% m)\)，即\(a\)的逆元为\(a^{\phi(m)-1}\)(欧拉定理)，当\(m\)为质数时，\(\phi(m)=m-1\)

证明：

将\(1\)到\(m\)中与\(m\)互质的数设为\(x_1,x_2……x_{\phi(m)}\)

令\(p_1=a*x_1,p_2=a*x_2,……,p_{\phi(m)}=a*x_{\phi(m)}\)

引理\(1\)：\(p\)之间两两模\(m\)不同余，\(x\)之间两两模\(m\)不同余

反证：若\(p_i-p_j≡0 （\% m）(i\neq j)\)，则\(a(x_i-x_j)=km\)

\(x_i-x_j\)不相等且小于\(m\)，矛盾

引理\(2\)：每个\(p\)模\(m\)的结果都和\(m\)互质

反证：若\(ax_i=km+r,gcd(r,m)>1\)

则\(ax_i-km=r\)

因为\(gcd(a,m)==1\)，根据\(exgcd\)，解出的\(x\)最后要乘以\(r\)，这与\(x\)和\(m\)互质矛盾

根据两个引理得到，所有\(p\)模\(m\)的集合与\(x\)的集合是相等的

\[\prod p_i≡\prod x_i \]

\[a^{\phi(m)}\prod x_i≡\prod x_i \]

\[a^{\phi(m)}≡1 \]

\(4.\)扩展欧拉定理：

\(f(n) = \begin{cases} a^{c\ mod\ \phi(m)}, & \text{gcd(a,m)==1} \\ a^c, & \text{gcd(a,m)≠1,c<φ(m)} \\ a^{(c\ mod\ \phi(m))+ \phi(m)}, & \text{gcd(a,m)≠1,c≥φ(m)} \end{cases}\)

证明：

前两个不用证，只要证第三个

取\(a\)的一个质因子\(p\)，令\(m=s*p^r,gcd(s,p)=1\)

\[p^{\phi(s)}≡1 (mod\ s),\phi(s)|\phi(m) \]

\[p^{\phi(m)}≡1(mod\ s) \]

\[p^{k*\phi(m)}≡1(mod\ s) \]

\[p^{k*\phi(m)+r}≡p^r(mod\ m) \]

\[p^{k*\phi(m)+r+c}≡p^{r+c}(mod\ m) \]

因为\(c>\phi(m)\)所以同余仍成立