「博弈论」耶鲁大学公开课笔记
入门结论
1.不要选择严格劣势策略（不管对方选择什么，你的选择都比另一个选择更劣）
2.理性选择导致次优结果
3.汝欲得之，必先知之（知道你的目的
4.学会换位思考对手
5.耶鲁大学学生都是自私鬼（娱乐向
经典案例：囚徒困境
如上选择及打分条件（每个位置前一个数字是\(A\)得分，后一个是\(B\)得分），那么\(A\)和\(B\)的最优策略应该选\(α\)，因为无论对方选什么，选\(α\)都比选\(β\)收益更大
得出了结论\(1\)：不要选择严格劣势策略
大家都选\(β\)每人都能得到\(1\)分，但因为心理黑暗等原因理性的人们趋向于选\(α\)，所以结论\(2\)：理性选择导致次优结果
若你是\(A\),由于情绪、喜好等因素，你眼中的得分变成了如下情况
此时你要做出选择的话，要先知道自己的选择在考虑了各种因素后的最终收益（表2），而不是开始时给出的表面收益（表1）
结论\(3\)：汝欲得之，必先知之
若你的对手没有心，它的表仍然是\(1\)，而你是善良美少女，你的表已经变成了\(2\)，那么在你的对手眼中，评分表如下：
此时你的对手一定会选择\(α\)
在你的眼中，评分表如下：
由于你知道你的对手没有心，必定会选择\(α\)，那么为了让自己收益更高，你也应该选择\(α\)，结论\(4\)：学会换位思考对手
博弈要素
参与人(表述法)\(i\)、策略\(s_i\)，策略集合\(S_i\)，某一次博弈\(s\)，策略组合（某次博弈中所有人的策略）、收益\(U_i(s)\)
\(s-i\) 除了\(i\)之外所有人的策略
严格优势策略：\(U(s_i，s-i)>U(s_{i'},s-i)\)对所有\(s-i\)成立
弱优势：\(U(s_i,s-i)≥U（s_{i'},s-i）\)对所有\(s-i\)成立，\(U(s_i,s-i)>U（s_{i'},s-i)\)对至少一个\(s-i\)成立
共同知识
数字游戏：在\(1—100\)中选择一个数字写下，最接近所有人写下数字的平均数的\(\frac{2}{3}\)的人可以获得奖励
那么在任何情况下，\(67\)以上的数字都不应该被选择，因为他们是严格劣势策略
如果你是理性的，而且你知道和你同台竞技的人都是理性的，那么\(67\)以上的数字已经出局了，现在再审视这个游戏，\(45\)以上的数字同样不应该被选择
在进行迭代剔除后，最后理性人之间的游戏应该都选择\(1\)
在这个游戏中，剔除\(45\)以上数字的前提是，你知道\(67\)以上的数字不应该选，你知道你的同伴是理性的他们不会选\(67\)以上的数字，你的同伴知道你是理性的不会选\(67\)以上的数字，你知道你的同伴知道你是理性的……
我们称这种相互知道的事情为共同知识
注意以下情况：
给两个人分别戴上一顶粉色帽子，每个人能看见对方帽子颜色但不能看见自己的，那么，游戏中至少有一顶粉色帽子是共同知识吗？
实际上不是
因为比如\(A\)知道\(B\)是粉色帽子，他知道游戏中至少有一顶粉色帽子这个事实，但是他也许会认为自己是一顶蓝帽子，他会认为\(B\)因为只能看到自己的蓝帽子而不认为游戏中至少有一顶粉色帽子，所以\(A\)知道而\(A\)不能确定\(B\)知道的事情不是共同知识
迭代剔除与中位选民定理
有两个候选人与十种立场\(1——10\)，每个立场有\(10\%\)支持，每个立场的支持者会支持与他们立场最相近的候选人，候选人如何选择立场使得自己获得的选票更多？
容易发现立场\(2\)相比与立场\(1\)来说，是一个弱优势策略，相比之下我们是不会选择立场\(1\)的(立场\(10\)同理)
在剔除了立场\(1\)的选择之后，我们发现立场\(3\)相较立场\(2\)又是一个弱优势策略，我们同样不会选择立场\(2\)
要注意的是这个假设是建立在立场\(1\)已经排除的情况下，否则若立场\(1\)未被排除，在对手选择立场\(1\)的情况下立场\(2\)要优于立场\(3\)，也就是要确保立场\(1\)是劣势策略是共同知识
在迭代剔除后，我们的选择只剩下了立场\(5\)和\(6\)
这是中位选民定理，越中立的候选人越能获得大多数支持
现实中影响因素很多，不完全符合模型
但并不意味着模型是无意义的，我们可以通过添加因素看看模型预测结果的变化，来理解因素对结果的影响是如何体现的
最佳对策
\(1.\)
参与人\(i\)的策略\(\hat{s_i}\)是对手的策略\(S-i\)的最佳对策（\(BR\)）
\(U(\hat{s_i},S-i)≥U(s_{i'},S-i)\)对参与人的所有\(s_{i'}\)都适用
或\(\hat{s_i}—>max\{U(s_i,S-i)\}\)
\(2.\)
参与人\(i\)的策略\(\hat{s_i}\)是对对手的可能采取的策略\(P\)时的最佳对策（\(BR\)）
\(EU(\hat{s_i},P)≥EU（s_{i'},P)\)对参与人的所有\(s_{i'}\)都适用
或\(\hat{s_i}—>max\{EU(s_i,P)\}\)
不要选择非最佳对策的策略
例如：
函数
可以发现在对手的任何策略下，\(β\)都不是最佳对策，所以\(β\)应该被排除
纳什均衡
假设一家公司利润两人平分，每个人可以选择为公司贡献\(s=[0,4]\)的工作时间（注意此处的策略是连续的，可以选择\(0\)到\(4\)间的任何数字）
公司总收益为\(w=4*(s_1+s_2+b*s_1*s_2)\)
若无\(b*s_1*s_2\)项，合作将无意义
收益：\(U_1=(s_1,s_2)=\frac{w}{2}\)，成本\(s_1^2\)
由于决策连续，我们不能对每个决策列出一条曲线
\(U(s_1,s_2)=2(s_1+s_2+b*s_1*s_2)-s_1^2\)
求导
\(U'=2(1+b*s_2)-2\hat{s_1}=0\)
为了确定它是最大值还是最小值需要求二阶导
\(U''=-2<0\)说明上述是最大值
解出一阶导
\(\hat{s_1}=1+b*s_2=BR_1(s_2)\)
同理
\(\hat{s_2}=1+b*s_1=BR_2(s_1)\)
假设此时\(b=\frac{1}{4}\)
\(\hat{s_1}=1+\frac{s_2}{4}=BR_1(s_2)\)
\(\hat{s_2}=1+\frac{s_1}{4}=BR_2(s_1)\)
对二者列出函数
根据不要选非最佳对策，任何人都不会选择小于\(1\)和大于\(2\)的部分
所以我们的视线缩小到1*1范围的框内
在迭代剔除后，最终的最佳对策是两函数交点
即
\(\hat{s_1*}=\hat{s_2*}=\frac{1}{1-b}\)
交点被称作纳什均衡点
任何人都不愿意偏离纳什均衡点
在偏离纳什均衡点的过程中，比如上述合作，偏离的越远，那么玩家的边际效应递减
有时结果会趋近纳什均衡点
如我们多次玩猜数字游戏，在不提及纳什均衡点的前提下，结果会不断趋近\(1\)
正式定义：
纳什均衡\(（NE）\)：
一个策略集合\(S=（s_1*,s_2*……s_m*）\)对于任意参与其中的玩家\(i\)所选择的策略\(s_i*\)是其他参与人所选策略的最佳对策\(（S*-i）\)
实施纳什均衡的动机（听不懂）
\(1.\)不后悔
\(2.\)纳什均衡可以被想象成自我实施的信念（几个人都认为事情会向纳什均衡发展，那么事情就一定会向纳什均衡发展）
找纳什均衡点：
\(BR(a)=β,BR(b)=β,BR(c)=γ\)
\(BR(α)=c,BR(β)=b,BR(γ)=a\)
那么\((b,β)\)是纳什均衡点，因为在这一点，两个玩家都选择了最佳对策
严格劣势策略不会出现在纳什均衡里，弱劣势策略不一定
投资博弈
先猜后证：人数很多 策略不多
预测：如果一开始投资概率超过阈值，那么博弈将会趋近于较优的纳什均衡，如果一开始低于阈值，那么博弈将会趋近于较劣的纳什均衡
但较劣的纳什均衡和囚徒困境不同，因为这里 没有严格劣势策略
协调博弈，如果协调成功就到了较优的纳什均衡没有人会反悔，但经常有协调谬误
银行挤兑：
银行有两种纳什均衡，较优均衡是大家对银行有信心而存钱
较劣均衡是人们对银行失去信心疯狂提款
协同谬误不同，仅凭沟通而非合同就可以改善结果
交流可以改变纳什均衡，约束才能改变囚徒困境
这和领导力紧密联系，协调博弈是领导力的用武之地
在投资中别人越投资你就越想投资
这种别人付出越多你就付出越多的博弈叫做策略互补博弈
性别大战
选\(c\)电影是严格劣势策略
而两人都看\(a\)或\(b\)电影都是纳什均衡
这是一个每参与者爱好不同的纳什均衡，这很容易导致协调失败
古诺双寡头模型
前提：学习过怎么在参与者较少且策略不多的博弈中找到纳什均衡
这个博弈介于经济学导论的两种极端情况之间：完全竞争和垄断
研究市场如何发展 对消费者有利还是生产者有利
策略：同质商品的产量，连续，用\(q\)来表示策略
生产成本\(:c*q\)，边际成本是常数\(c\)
市场价格\(:p=a-b(q_1+q_2)\)
利润\(:w=p*q_1-c*q_1=aq_1-bq_1^2-bq_1q_2-cq_1\)
当\(2\)的生产数量确定时我们要找出\(1\)的最佳产量
求导后令导数等于零之类的
\(\hat{q_1}=\frac{a-c}{2b}-\frac{q_2}{2}\)
\(\hat{q_2}=\frac{a-c}{2b}-\frac{q_1}{2}\)
边际收入等于边际成本的那点是垄断产量
根据纳什均衡定义大力找函数交点
