「图论」欧拉路

定义

通路：一条从\(v_i\)到\(v_j\)的不经过重复边的一条路经，长度为通路中边的个数

回路：起点和终点相同的通路

欧拉通路：经过图\(G\)所有边一次的通路

欧拉回路：经过图\(G\)所有边一次的回路

欧拉图（\(E\)图）：具有欧拉回路的图

半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图

平凡图：只有一个节点的图

判定

无向图：\(G\)为连通图，有且仅有两个奇数度顶点，则图存在欧拉通路，无奇数度节点，则图存在欧拉回路

有向图：\(G\)为连通图，起点出度比入度大\(1\)，终点入度比出度大\(1\)，则存在欧拉通路，所有顶点入度等于出度，则存在欧拉回路

证明： 无向图\(G\)为连通图，无奇数度节点，则图存在欧拉回路

必要性显然

充分性：

由于所有节点都是偶数度节点，那么必然存在一个简单环，如果这个环就是欧拉回路结论已经成立，否则删掉该环上所有边，子图中的节点一定不存在奇数度节点

由于图的连通性，子图与该环必定有公共顶点，以公共顶点为起点在子图中寻找简单环递归做

又因为子图中的环与原图简单环有公共顶点，所以二者可以并在一起，最终形成欧拉回路

证明： 无向图\(G\)为连通图，有且仅有两个奇数度顶点，则图存在欧拉通路

必要性显然

充分性：

将两个奇数度顶点直接连边，图\(G\)中必定存在欧拉回路

有向图同理

定理

1.一个非平凡联通图是欧拉图当且仅当它每条边属于奇数个环

证明：几个环交接处的边的两个顶点的度数为环数+1

实现

判断图中存在欧拉路或欧拉回路后，只要选择正确的起点无脑递归，无路可走就回溯，回溯时记录路径

inline void dfs(int now)
{
	for(int i=l;i<=r;++i)
	{
		if(g[now][i])
		{
			--g[now][i];
			--g[i][now];
			dfs(i);
		}
	}
	ret[++sum]=now;
}

最后将路径倒序输出

while(sum) printf("%d\n",ret[sum--]);

为什么一定要倒序输出不是直接输出？

考虑以下情况（无向图）：

标准\(dfs\)很可能\(1\)之后进入\(2\)，转了一圈之后发现无法返回，那么我们\(dfs\)树上的顺序很可能是：

\(1、2、3、4、2、5、6、1\)

但这很明显不是欧拉路的顺序

若我们用栈，在回溯时将节点入栈，先将\(2、4、3、2、1\)压入栈底

而后将\(6、5、1\)进栈

那么倒序输出的顺序就是\(1、5、6、1、2、3、4、2\)

也就是说在求欧拉通路时，死路一定要走的但不能放在最早走，而是一旦遇到通过栈在走完回路之后通过