清晰理解堆排序

堆的定义

  • 一个完全二叉树中,任意父结点总是大于或等于(小于或等于)任何一个子节点,则为大顶堆(小顶堆)。

堆的数组存储方式

完全二叉树适合采用顺序存储的方式,因此一个数组可以看成一个完全二叉树。

  • 节点编号:树根起,自上层到下层,每层从左至右,给所有结点顺序编号,能得到一个反映整个二叉树结构的线性序列。

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  • 编号特点

从一个结点的编号就可推得其双亲,左、右孩子,兄弟等结点的编号。假设编号为i的结点是ki(1≤i≤n),则有:

  ①若i>1,则ki的双亲编号为i/2;若i=1,则Ki是根结点,无双亲。

  ②若2i≤n,则Ki的左孩子的编号是2i;否则,Ki无左孩子,即Ki必定是叶子。因此完全二叉树中编号i>n/2的结点必定是叶结点。

  ③若2i+1≤n,则Ki的右孩子的编号是2i+1;否则,Ki无右孩子。

注:ki(0≤i≤n)满足数组下标时,则可能的左右孩子分别为2i+1、2i+2。

堆排序的思想(以大顶堆为例)

利用堆顶记录的是最大关键字这一特性,每一轮取堆顶元素放入有序区,就类似选择排序每一轮选择一个最大值放入有序区,可以把堆排序看成是选择排序的改进

  1. 将初始待排序关键字序列(R0,R1,R2....Rn)构建成大顶堆,此堆为初始的无序区;
  2. 将堆顶元素R[0]与最后一个元素R[n]交换,此时得到新的无序区(R0,R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn);
  3. 由于交换后新的堆顶R[0]可能违反堆的性质,因此需要对当前无序区(R0,R1,R2,......Rn-1)调整为新堆。

不断重复此2、3步骤直到有序区的元素个数为n-1,则整个排序过程完成。

 

筛选算法

//最难理解的地方

  • 目标:一个所有子树都为堆的完全二叉树。意思就是这个二叉树只差跟节点不满足堆的结构。//很重要,很重要,很重要

    如下图:

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  • 方法:首先将root和它的左右子树的根结点进行比较,把最大的元素交换到root节点;然后顺着被破坏的路径一路调整下去,直至叶子结点,就得到新的堆。

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  • 运用:1.在上文提到的堆排序思想,2-3步骤中将无序区调整为堆的时候用到。

          2.初始化堆

初始化堆

从最后一个非叶子节点i(i=n/2,n为节点个数)开始,将以i为根节点的二叉树通过筛选调整为堆。以第一张图为例,编号顺序为8、7、6...1。

从最后一个非叶子节就保证了筛选算法的正确性,因为筛选算法的目标是一个所有子树都为堆的完全二叉树

java实现堆排序

package sort;

import java.util.Arrays;
import util.MathUtil;
/**
 * 通过大顶堆实现堆排序,升序排序
 * 
 */

public class HeapSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr={9,6,12,32,23,11,2,100,85};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
    //这里将i定义为完全二叉树的根
    //将完全二叉树调整为大顶堆,前提是二叉树的根的子树已经为大顶堆。
    public static void adjustHeap(int[]a ,int i,int size){
        int lChild=2*i+1;        //左孩子
        int rChild=2*i+2;        //又孩子
        int max=i;                //临时变量
        if(i<size/2){            //如果i是叶子节点就结束
            if(lChild<size&&a[max]<a[lChild])
                max=lChild;
            if(rChild<size&&a[max]<a[rChild])
                max=rChild;
            if(max!=i){
                MathUtil.swap(a, max, i);//交换后破环了子树的堆结构
                adjustHeap(a, max, size);//递归,调节子树为堆
            }
        }
    }
    
    //建立堆,堆是从下往上建立的,因为adjustHeap函数是建立在子树已经为大顶堆。
    public static void buildHeap(int[]a,int size){    
        for(int i=size/2;i>=0;i--){//从最后一个非叶子节点,才能构成adjustHeap操作的目标二叉树
            adjustHeap(a, i, size);
        }        
    }

    //将数组分为两部分,一部分为有序区,在数组末尾,另一部分为无序区。堆属于无序区
    public static void sort(int[] arr){
        int size=arr.length;
        buildHeap(arr, size);
        for(int i=size-1;i>0;i--){//i为无序区的长度,经过如下两步,长度递减
            //堆顶即下标为0的元素
            MathUtil.swap(arr, i, 0);//1.每次将堆顶元素和无序区最后一个元素交换,即将无序区最大的元素放入有序区
            adjustHeap(arr, 0, i);   //2.将无顺区调整为大顶堆,即选择出最大的元素。
        }
    }    
}

posted @ 2016-04-22 21:47  klguang  阅读(17216)  评论(1编辑  收藏  举报