第13章 群

半群与含幺半群

半群与含幺半群

半群

• 半群与可交换半群：
  
• 含幺半群：
  
• 有限半群：若\(S\)是有限集，则\(<S,*>\)是有限半群，否则为无限半群
• 子半群：
  

群的满同态：设\(f\)是二元代数\(<A,\circ>\)到\(<B,*>\)的满同态，根据12章满同态的性质有

• 若\(<A,\circ>\)是半群，则\(<B,*>\)也是半群
• 若\(<A,\circ>\)是含幺半群，则\(<B,*>\)也是含幺半群

元素的幂

在半群\(<S,*>\)中，\(*\)运算满足结合律，若存在幺元\(e\)则规定\(e=a^0\)，此时对\(\forall n,m\in N\)有\(a^n*a^m=a^{n+m},\;(a^n)^m=a^{nm}\)（无幺元则是\(n,m\in N^+\)）

循环半群

循环半群

• 循环半群、生成元、生成集、循环含幺半群：
  
• 循环半群与可交换半群：
  • 每个循环半群都是可交换半群
  • 每个循环含幺半群都是可交换含幺半群
• \(<\underline{n},+_n>\)与循环半群：
  • \(<\underline{n},+_n>\)是循环含幺半群
  • \(\forall a\in \underline{n}\)，若\((a,n)=1\)，则a是\(<\underline{n},+_n>\)的生成元
  • 当\(n\)是素数是，\(\underline{n}\)除幺元0以外，其它一切元素都是生成元
• 循环半群与幂等元：
  • 每个有限循环半群中，至少有一个幂等元存在
  • 每个有限半群中，至少有一个幂等元存在（有限半群必存在有限循环子半群）

例题

*一些思考

对于不含幺元的有限循环半群\(<S,*>\)，\(|S|=n\)，\(a\)是其中的一个生成元，则有：

• \(n\geq 2\)且\(a\)是唯一的生成元，\(S=\{a^1,a^2,...,a^n\}\)（即\(a^1,a^2,...,a^n\)互不相同），\(a^{n+1}\neq a\)

证明：

• \(n\geq 2\)：若\(n=1\)，则该生成元是幺元，矛盾
• \(a^1,a^2,...,a^{n}\)互不相同：假设其中两个相等，那么\(a\)的幂运算会一直在这之间循环，此时\(a\)生成不了全部元素，矛盾
• \(a^{n+1}\neq a\)：若\(a^{n+1}=a\)，因为有\(a^{n}*a^k=a^k*a^{n}=a^{k},\;k\in N^+\)，所以\(a^{n}\)是幺元，矛盾
• \(a\)是唯一的生成元：若有两个或以上的生成元，则对任意生成元\(a\)，必有\(a^{n+1}=a\)（否则\(a^k=a\)只有在\(k=1\)时成立，即其它生成元生成不了\(a\)），矛盾

对于有限循环含幺半群\(<S,*>\)，\(|S|=n\)，\(a\)是其中的一个生成元，则有：

• \(n\geq 2\)，\(S=\{a^0,a^1,...,a^{n-1}\}\)（即\(a^0,a^1,...,a^{n-1}\)互不相同），\(a^{n}\neq a\)
• 当且仅当\(a^{n}\neq a^0\)时，\(a\)是唯一的生成元

证明：

• \(n\geq 2\)：有限循环含幺半群有一个幺元和至少一个生成元
• \(a^0,a^2,...,a^{n-1}\)互不相同：假设其中两个相等，那么\(a\)的幂运算会一直在这之间循环，此时\(a\)生成不了全部元素，矛盾
• \(a^{n}\neq a\)：假设\(a^{n}=a\)，则可以得到\(a^{n-1}=a^0\)，矛盾
• 当且仅当\(a^{n}\neq a^0\)时，\(a\)是唯一的生成元：n=2时显然成立，当n>2时
  • 充分性的证明：给定\(a^{n}\neq a^0\)，若有两个或以上的生成元，则对任意生成元\(a\)，因为\(a^{n}\neq a\)（已证），必有\(a^{n}=a^0\)（否则\(a^k=a\)只有在\(k=1\)时成立，即其它生成元生成不了\(a\)），矛盾
  • 必要性的证明：给定\(a\)是唯一的生成元，若\(a^{n}=a^0\)，又因为n>2，总能找到两个或以上的生成元（除了\(a\)外还有\(a^k\)，\(k\)是小于n的素数）

根据最后一条，还可以推出：
当\(n>2\)时，若存在生成元\(a\)有\(a^{n}=a^0\)，则必有两个或以上的生成元，反之，若有两个或以上的生成元，则对任意生成元\(a\)，必有\(a^{n}=a^0\)

注意：
对于有限循环半群，因为不能保证\(a\)是可消去元，
所以若无幺元（或有幺元），可以有（非必有）\(a^{n+1}=a^k,\;1<k\leq n\)（或\(a^{n}=a^k,\;1<k\leq n-1\)）
而对于有限循环群\(<G,\circ>\)，因为每个元素都可逆
所以不能有\(a^{|G|}=a^k,\;k>0\)，即必有\(a^{|G|}=a^0\)

有限循环半群与幂等元：在每个有限循环半群中，至少有一个幂等元存在

证明：参考 https://www.zhihu.com/question/41649882

群及其性质

群的定义及基本性质

群

• 定义：
  
  
• 交换群（阿贝尔群）、有限群：
  
• 变换群（置换群）：
  
• 群的性质：在群\(<G,*>\)中，有
  
• *4次单位根群：设\(G=\left\{x\right|x^4=1,x是复数\}\)，则\(<G,\times>\)是群且是4次单位根群，其中运算\(\times\)是普通乘法运算

例题

元素的周期

与半群类似，群同样有元素的幂运算（且必有幺元）
元素的周期（阶）：

元素周期的性质

• 周期内互异：
  
• 逆元周期相同：群\(<G,*>\)中任意元素\(a\)和它的逆元\(a^{-1}\)的周期相同
• 周期尽头是且仅是幺元：设\(<G,*>\)是一个群，\(\forall a\in G\)，若\(a\)的周期为\(m\)则\(a^m=e\)，并且有\(a^n=e\)当且仅当\(m|n\)
• \(a^k\)的周期：设\(<G,*>\)是一个群，\(G\)中\(a\)的周期为\(m\)，\(a^k\)的周期为\(\frac{m}{(k,m)}\)，其中\((n,m)\)表示\(k\)与\(m\)的最大公因数（\([m,n]\)则表示\(mn\)的最小公倍数）
  • 推论1：若\(a\)的周期为\(nm\)，则\(a^n\)的周期为\(m\)
  • 推论2：当且仅当\((n,k)=1\)时\(a\)与\(a^k(k\in Z)\)的周期均为\(n\)
• \(a*b\)的周期：
  
• 有限群内元素的周期也有限：有限群\(<G,*>\)中每个元素的周期都是有限的，且不大于群\(G\)的阶（证明时，用鸽笼原理找两个相同元素，再用消去律易证）

证明形如\(m|n\)的结论，可以用反证法，即假设\(m\)不能整除\(n\)，则\(\exist q\in Z\)，使得\(n=mq+r\;(1\leq r\leq m-1)\)

例题

解：（惯用方法：证明\(15|n且n|15\)）

子群

子群

• 子群：（群的子代数不一定是子群，因为不一定有幺元且所有元素都有逆元）
  
• 平凡子群：
  

子群的判定

• 引理：（用幺元是群的唯一幂等元去证）
  
• 常用判定(5322)：（尤其是第2条和第3条较为常用）
  

判定方法使用例：
（1）有群\(<G,*>\)和代数\(<S,*>\)，若\(S=\{a^n|\;n\in Z,Z是整数\}\;(a\in G)\)，则\(<S,*>\)是\(<G,*>\)的子群
（可使用第3条证明）
（2）设\(<G,*>\)是一个群，\(H_1,H_2,\cdots,H_n\)是\(G\)的\(n\)个子群，则有\(H=H_1\cap H_2\cap\cdots\cap H_n\)是\(G\)的子群
（可用第2条证明）

群的同态

单一群同态、满群同态、群同构：

群同态的性质：

• 幺元逆元映射：
  
• 同态映射与子群：
  
• 满同态构成群：
  
• 群同构：
  • 若\(G\leq 3\)，则群\(G\)在同构的意义下只有一个
  • 若\(G=4\)，则群\(G\)在同构的意义下只有两个

同阶异构群的枚举比较难
若要借助运算表，先要找所有群的运算表
然后在这些运算表上在判断并去除同构的群

特殊群

交换群(阿贝尔群)

交换群

• 定义：若群\(<G,*>\)中的运算\(*\)满足交换律，则称\(<G,*>\)是一个交换群或阿贝尔群
• 充要条件：群\(<G,*>\)是交换群的充要条件是\(\forall a,b\in G\)有\((a*b)^2=a^2*b^2\)

循环群

循环群

• 循环群、生成元：
  
• 循环群的判别（找生成元）：
  1. 假设生成元存在，并根据生成元的定义计算它
  2. 验证计算的结果是否就是生成元，若是则该群是循环群

n阶剩余类加群：群\(<\underline{n},+_n>\)是\(n\)阶剩余类加群，其生成集为\(M=\{a|(a\in \underline{n})\and ((n,a)=1)\}\)

循环群的性质：

• 是交换群：循环群都是交换群
• 群的阶与元素的周期相等：当\(G=<g>\)是个循环群时，群\(G\)的阶与生成元\(g\)的周期相等，当\(g\)的周期无限(有限)时\(<g>\)是个无限(有限)循环群
• 同构化：
  
• 其它推论（生成元、子群）：
  

例题：
设\(a\in G\)是群\(<G,*>\)中的任意元素，令\(S=\{a^n|\;n\in Z\}\)，证明\(<S,*>\)是群\(<G,*>\)的循环子群
证明：
因为\(a\)在\(G\)中对\(*\)满足封闭性，所以\(\forall n\in Z\)均有\(a^n\in G\)，即\(S\subseteq G\)
对于\(\forall x,y\in Z\)，有\(a^x,a^y\in S\)，且\(a^x*a^(-y)=a^{x-y}\in S\)，所以\(<S,*>\)是群且是\(<G,*>\)的子群
又因为\(a\)是\(S\)的生成元，所以\(<S,*>\)是\(<G,*>\)的循环子群

*一些思考

对于“循环群性质”中的“同构化”的证明：

• 对于无限群的同构：考虑建立映射\(f:G\to Z,\forall g^k\in G,f(g^k)=k\)，然后证明该映射是双射
• 对于有限群的同构：考虑建立映射\(f:G\to \underline{n},\forall g^k\in G,f(g^k)=k\)，然后证明该映射是双射

对于“循环群性质”中的“其它推论”中第四条“循环群\(G=<a>\)的子群一定是循环群”的证明：

1. 首先循环群的子群必有幺元，且该幺元与\(G\)中相同
2. 然后在子群中取\(a^k\)（\(k\in N^+\)且在子群中最小）
3. 反证法：若子群不是循环群，由封闭性可得出\(k\)不是在子群中最小的，矛盾
4. 证毕.

对于“其它推论”中的第(5)条的证明：

1. 设\(G\)的阶为\(n\)，对任意因子\(d\)，必存在有阶为\(d\)的循环子群\(<a^k>\;(k=\frac{n}{d})\)，即有\(k|n\)
2. 而对于任意阶为\(d\)的循环子群，设为\(<a^t>\)，则有\(a^{dt}=e\)，即有\(n|dt\)，即有\(dk|dt\)，因而有\(k|t\)
3. 所以\(a^t\)能由\(a^k\)生成，故\(<a^t>\)和\(<a^k>\)是同一循环子群
4. 证毕.

置换群

\(n\)元置换：

\(n\)次对称群、\(n\)次置换群：

\(n\)次对称群\(<S_n,\circ>\)包括所有在\(S\)上的\(n\)元置换，而\(n\)次置换群是它的子群

轨道

• 定义：
  
• 性质：
  

例题

证明群\(<Z_n,+>\)是循环群（\(Z_n\)是整数上的同余等价关系）
证明：

陪集与拉格朗日定理

陪集

同余关系

• 定义：
  
• 同余关系是等价关系：设\(<H,*>\)是\(<G,*>\)的任意一个子群，则模\(H\)同余关系是\(G\)上的等价关系（右陪集是同余关系\(R\)出发得到的对\(G\)的商集\(G/R\)）

陪集

• 左陪集、右陪集、代表元：
  
• 性质：
  
• 寻找方法：
  
• 拉氏引理：
  

对于这里的“性质”：
理解第(3)条就能理解第(2)条
而第(3)条用等价类直接理解
即因为陪集是等价类，所以有\(a\in [b]_R \Leftrightarrow [a]_R=[b]_R\)
其中\([b]_R=Hb,\;[a]_R=Ha\)

拉格朗日定理

拉格朗日定理

• 拉格朗日定理：
  
• 推论1：设\(H\)是有限群\(G\)的子群，则\(H\)的阶整除\(G\)的阶，即\(|H|\;|\;|G|\).
• 推论2：素数阶有限群\(<G,*>\)只有平凡子群，而无真子群.
• 推论3：有限群\(<G,*>\)中任意元素\(a\)的周期都整除群的阶.
• 推论4：阶为\(n\)的有限群\(<G,*>\)中，对\(\forall a\in G\)，有\(a^n=e\).
• 推论5：阶为\(n\)的有限群\(<G,*>\)都有循环子群存在，该子群的生成元的周期均能整除\(n\).
• 推论6：素数阶有限群\(G\)都是循环群，并且除幺元以外的其他元素都是其生成元.

轨道公式

轨道公式

• 轨道公式：
  
• 根据轨道划分：所有不同轨道的集合是\(S\)的划分，并且有\(\left|S\right|=\sum\limits_{a\in P}\left|G\right|/\left|G_a\right|\)，其中集合\(P\)是从不同轨道中取一个代表元而构成的集合
• 轨道数目的计算：（注意是轨道数目而不是长度）
  对\(\forall g\in G,a\in S\)，如果\(g(a)=a\)，则称\(a\)是\(g\)的不动点，利用不动点，可以得到计算轨道数目的公式
  \(N=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\chi(g)\)
  其中\(N\)是轨道数目，\(\chi(g)\)是\(g\)的不动点数目

*一些思考

轨道公式证明的关键思路：
对于任意\(b\in \Omega _a\)，存在\(f\in G,\;f(a)=b\)
令\(I_b=\{i|i\in G,\;i(a)=b\}\)，则有\(I_b=f(G_a)\)（关键步骤，利用反证法或双射定义可证）
所以\(|G_a|=|I_b|\)（特别有当\(b=a\)时\(G_a=I_a\)，根据对称性还有\(G_b=I_b(G_b=\{g|\;g\in G,g(b)=b\})\)）
又因为有\(G=\sum\limits_{b\in \Omega _a} I_b\;\)，故\(|\Omega _a|*|G_a|=|G|\)

对于轨道数目计算公式的证明：
在轨道公式的证明中，可以得到对于任意\(b\in \Omega _a\)，有\(|G_a|=|I_b|\)和\(G_b=I_b\)，即\(|G_a|=|G_b|\)
然后结合轨道公式即可证.