第12章代数系统

代数系统

代数运算

二元运算：设\(A,B,C\)是非空集合，从\(A\times B\)到\(C\)的映射(或函数)\(f:A\times B\to C\)称为\(A\times B\)到\(C\)的二元代数运算，简称二元运算
算符：二元运算中除了用\(*\)以外，还常用\(\sim ,\circ ,+ ,- ,\wedge ,\vee ,\cap ,\cup\)
运算表：当集合\(A\)和\(B\)是有限集合时，一个\(A\times B\)到\(C\)的代数运算可以借用一个表来表示，称该表为运算表
二元运算封闭：如果\(*\)是\(A\times A\)到\(A\)的二元运算，则称运算\(*\)对集合\(A\)是封闭的，或者称\(*\)是\(A\)上的二元运算

*n元运算：设\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)，\(A\)是非空集合,从\(A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\),到\(A\)的一个映射(或函数) \(*\)：\(A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\to A\)称为从\(A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\)到\(A\)的\(n\)元代数运算，简称\(n\)元运算.当\(n=1\)时,称为一元运算.
*\(n\)元运算上的封闭：设\(*\)是从\(A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\)到\(A\)的\(n\)元代数运算，如果\(A_1=A_2=...=A_n=A\),则称运算\(*\)对集合A是封闭的，或者称\(*\)是\(A\)上的\(n\)元代数运算．

代数系统与子代数

代数系统

代数系统：

同类型：

\(<P(S),\cap,\cup,\sim>\)称为集合代数
\(<S,\land,V,\neg>\)称为命题代数

子代数

设\(<A,*_{1},*_{2},\cdots,*_{m}>\)是代数系统，如果

\(B\subseteq A\)且\(B\neq\varnothing\)
\(*_1,*_2,\cdots,*_m\)都是\(B\)上的封闭运算

则\(<B,*_{1},*_{1},\cdots,*_{m}>\)也是一个代数系统，称其为\(<A,*_{1},*_{2},\cdots,*_{m}>\)的子代数系统，简称子代数，又若\(B\subset A\)，则称\(<B,*_{1},*_{2},\cdots,*_{m}>\)是\(<A,*_{1},*_{2},\cdots,*_{m}>\)的真子代数.

代数系统的应用

例题：
用代数系统说明正常调节之间的联系:

解：
设集合\(A\)是所有正常调节的字符串，则对任意\(x,y\in A\)，令\(x*y=xy\)
其中\(*\)称为字符串之间的连接运算
设集合\(B=\{10^m10^n1|m,n\in\mathbf{N}\}\)
对任意\(x\in A\)，\(x\)可以被表示为\(B\)中有限个字符串的连接
即\(<A,*>\)是一个代数系统

代数系统的基本运算和性质

*广群：只有一个二元运算的代数系统\(<A,*>\)

二元运算律（六律）

结合律

定义：

只有当运算满足结合律是才有\(a*b*c=(a*b)*c=a*(b*c)\)，否则\(a*b*c\)有歧义

交换律

定义：设\(<A,*>\)是二元代数系统，如果对\(\forall a,b\in A\)，都有\(a*b=b*a\)，则称\(*\)在\(A\)上是可交换的，或称\(*\)满足交换律.

消去律

定义：（有元，左右消）

幂等律

定义：（有元）
\(n\)次幂：若\(*\)满足结合律，定义\(a\)的正整数幂\(a^n\)，称为\(a\)的\(n\)次幂

分配律

定义：（左右分配abc）

吸收律

定义：（左吸xxy）
设\(*\)、\(\circ\)是集合\(A\)上的二元运算，\(<A,*,\circ>\)是一个代数系统，若对\(\forall x,y\in A\)，都有\(x*(x\circ y)=x\)以及\(x\circ(x*y)=x\)，则称\(*\)和\(\circ\)满足吸收律.

如果\(*\)对\(\circ\)满足第一分配律，且\(\circ\)满足结合律，且\(a*(\begin{array}{c}b_1\circ b_2\cdots\circ b_n\end{array})=(a*b_1)\circ(a*b_2)\circ\cdots\circ(a*b_n)\)

表中结论：

代数系统的性质（五元）

另外两元即可消去元、幂等元，在六律里面介绍过

幺元

定义：
寻找方式：
唯一性定理：（唯一性的证明一般用反证法）

零元

定义：（幺元和零元称为代数系统的特异元）
寻找方式：
零元与可消去元：零元一定不是可消去元，故存在零元的运算不满足消去律
唯一性定理：

逆元

定义：（若\(a^{-1}\)是\(a\)的逆元，则\(a\)和\(a^{-1}\)互为逆元）
逆元与可消去元：
逆元(左逆元/右逆元)一定是可消去元(左可消去元/右可消去元)，但可消去元不一定是可逆元.
在满足结合律的二元运算中，若\(a,b\)分别有逆元\(a^{-1},b^{-1}\)，则\((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\)
唯一性定理：

幺元例题：
\(<P(A\times A),\circ>\)，其中\(P(A\times A)\)表示集合\(A\)上的所有二元关系集合，运算\(\circ\)表示关系的复合
解：

逆元例题：
下列代数系统中是否存在可逆元，如果存在，则计算可逆元的逆元
\(<\mathbf{Z}^{+},+>\)，其中\(Z^+\)是正整数集，\(+\)是普通加法运算
解：由于该代数系统不存在幺元，所以\(Z^+\)中的元没有逆元

例题：

（1）验证\(<G,\circ>\)是代数系统
解：

（5）如有可逆元,计算这些元的逆元
解：

同态与同构

同态与同构

定义：
单一同态、满同态、同构：
同态或同构的证明方法：（对于两个运算表，如果一个运算表改名并交换行列顺序后与另一个运算表相同，则这两个运算同构）

同态映射与子代数：设\(\psi\)是从\(<A,*>\)到\(<B,*>\)的同态映射,那么\(\psi<(A),*>\)是\(<B,*>\)的子代数.

同态的性质

满同态的性质

对于结合律、交换律、五元：
对于分配律、吸收律：

由于\(\psi\)是\(<A,*>\)到\(<\psi(A),*>\)的满同态，所以满同态的性质在这两个代数系统之间成立.

同构的性质：若\(\psi\)是从\(<A,*>\)到\(<B,\circ>\)的同构映射，则\(\psi\)的逆映射\(\psi^{-1}\)是从\(<B,\circ>\)到\(<A,*>\)的同构映射，因此，不仅\(<B,\circ>\)中的性质可以通过\(\psi\)转化为\(<A,*>\)中的性质，而且\(<A,*>\)中的性质可以通过\(\psi^{-1}\)转化为\(<B,\circ>\)的性质，即这两个代数系统具有完全相同的代数性质.