第8章 函数

函数

函数的定义

函数：

• 定义：
  
  
• 数量特点：
  • \(|f|=|A|\)
  • 将A到B的一切函数构成的集合记为\(B^{A}=\{f\;|\;f:A\to B\}\)，则\(|B^{A}|=|B|^{|A|}\)

\(f(x)\)表示一个变值，\(f\)代表一个集合，因此\(f\neq f(x)\)
注意关系和函数的基数不同，从A到B的不同关系有\(2^{|A|\times |B|}\)个

函数的类型

4种类型（对于A→B）：

• 定义：
  
• 必要条件：
  
• 单射与满射的关系：设\(A,B\)是有限集合，且\(|A|=|B|\)，\(f\)是从\(A\)到\(B\)的函数，则\(f\)是单射当且仅当\(f\)是满射

对于单射与满射的关系，在无限集合下不一定成立，例如：

对于双射：
若有\(f:A\to B\)，\(g:B\to A\)
且\(f\circ g=I_A,\;\;g\circ f=I_B\)
则有\(f,g\)都是双射函数

证明单射的常用思路：

• 反证法：假设存在\(a_{1},a_{2}\in A\)且\(a_{1}\neq a_{2}\)有\(f(a_{1})=f(a_{2})\)，则...推出\(a_{1}=a_{2}\)，出现矛盾假设不成立
• 直接法：对于\(a_{1},a_{2}\in A\)且\(a_{1}\neq a_{2}\)，证明存在某个元素属于\(f(a_{1})\)而不属于\(f(a_{2})\)，即证明\(f(a_{1})\neq f(a_{2})\)

常用函数

6种常用函数（设A和B是两个集合）：

函数的运算

函数的复合运算

函数的复合运算：

• 定义：
  
• 性质：除了关系复合运算的定理可以用外，还有如下定理
  
  

函数的逆运算

函数逆运算：

• 定义：
  
• 运算性质：
  1. \(f^{-1}\circ f=I_B=\{<b,b>\mid b\in B\}\)
  2. \(f\circ f^{-1}=I_A=\{<a,a>\mid a\in A\}\)
  3. \(I_A\circ f=f\circ I_B=f\)
  4. \(f^{-1}\)也是从B到A的双射

置换函数

置换函数概念

置换函数定义： 设\(A=\{ a_1\:,a_2\:,\cdots,a_n\}\)是有限集合﹒从A到A的双射函数称为A上的置换或排列记为\(P:A\to A\)，n称为置换的阶
n阶置换\(P:A\to A\)常表示为

\[P=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ P(a_1)&P(a_2)&P(a_3)&\cdots&P(a_n)\end{pmatrix} \]

两个置换的复合运算的结果还是A上的一个置换
集合A的基数为n，则A上不同置换函数的个数就是n!
置换是一种特殊的函数，那么置换也可以进行复合运算和求逆运算
循环置换：当循环置换是n重循环时，置换n次变回原来的排列