第6章 二元关系

二元关系

序偶和笛卡尔积

序偶：两个元素x,y按照一定的次序组成的二元组称为有序偶对，简称序偶，记作\(<x,y>\)
序偶相等：\(<a,b>=<c,d>\)当且仅当\(a=c,b=d\)
n重有序组：\(<a_{1},a_{2},...,a_{n}>\)
n重有序组相等：\(<a_{1},a_{2},...,a_{n}>=<b_{1},b_{2},...,b_{n}>\)当且仅当\(a_{i}=b_{i}\;\;\;i=1,2,...,n\)

笛卡尔积：\(A\times B=\{<x,y>|x\in A\and y\in B\}\)

• 不满足交换律，不满足结合律
• \(A\times B=\phi\)当且仅当\(A=\phi\)或\(B=\phi\)
• A，B均为有限集时，\(|A\times B|=|B\times A|=|A|\times |B|\)

笛卡尔积相关定理（\(A,B,C,D\)均是非空集合）：

n个集合的笛卡尔积：\(A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}=\{<a_{1},a_{2},...,a_{n}>|a_{i}\in A_{i}\and i\in \{1,2,...,n\}\}\)

• 当\(A_{1}=A_{2}=...=A_{n}=A\)时，\(A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}=A^{n}\)
• \(|A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}|=|A_{1}|\times |A_{2}|\times ...\times |A_{n}|\)

关系

关系：设A,B为两个非空集合，称A×B的任意子集R为从A到B的一个二元关系，简称关系，若A=B，则称R为A上的一个二元关系

• A到B的空关系：\(R=\phi\)
• A上的恒等关系：\(R=I_{A}=\{<x,x>|x\in A\}\)
• A到B的全关系：\(R=A\times B\)
• \(xRy\)：\(<x,y>\in R\)
• ：\(<x,y>\notin R\)

关系个数：\(A\times B\)共有\(2^{|A|\times |B|}\)个关系
前域、后域、定义域、值域、域：

n元关系：n个非空集合\(A_{1},A_{2},...,A_{n}\)的任意子集R为\(A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}\)的n元关系

关系的表示

3种表示方式

1. 集合表示法：即枚举法或叙述法
2. 关系图表示法：即使用有向图刻画关系R
   • \(A\neq B\)：有向图无自环
   • \(A=B\)：有向图可能有自环
3. 关系矩阵表示法：即R的邻接矩阵，记作\(M_{R}\)，关系矩阵是布尔矩阵

布尔矩阵的基本运算（对于两个mxn的矩阵A,B）：

• 并：记作\(A\or B\)，其中结果的每一个元素\(c_{ij}\)
  
• 交：记作\(A\and B\)，其中结果的每一个元素\(c_{ij}\)
  
• 布尔积：记作\(A\bigodot B\)，其中结果的每一个元素\(c_{ij}\)
  

布尔矩阵的运算定律（对于两个mxn的矩阵A,B）：

关系的应用

集合A到集合B上的关系可以看成是表（类似数据库中的表）

关系的运算

关系的基本运算：交并差补（即集合的基本运算，关系也是一种集合）
复合关系（合成关系）：\(R\circ S=\left\{ <x,z>|x\in A\and z\in C\and (\exists y)(y\in B\and xRy\and ySz)\right\}\)，其中\(R:A\to B,\;\;S:B\to C\)

复合关系的一些特性：

• 如果对任意的\(x\in A\)和\(z\in C\),不存在\(y\in B\)，使得\(xRy\)和\(ySz\)同时成立,则\(R\circ S\)为空集,否则为非空集合
• \(\phi \circ R=R\circ \phi=\phi\)

复合关系的一些定理：

关系的逆运算

关系的幂运算

关系的性质

关系性质的定义

存在既不是对称也不是反对称的关系，也存在既是对称也是反对称的关系
非空集合A上的空关系是反自反的，因为\(\forall x\in A\)都有\(<x,x>\notin R\)
非空集合A上的空关系是反对称的，因为\(\forall x,y\in A\)都有\(<x,y>\notin R\)
不能脱离所在的集合谈论关系的性质

关系性质的判定定理

关系性质的保守性

逆运算与交运算具有较好的保守性
并运算、差运算和复合运算的保守性较差

关系的闭包

闭包运算：在给定关系R中添加最少的元素，使其具有需要的特殊性质

• 包括：自反闭包\(r(R)\)、对称闭包\(s(R)\)、传递闭包\(t(R)\)

求闭包的方法：

对于传递闭包，可使用warshall算法：https://blog.csdn.net/qq_61711593/article/details/124806165