第3章命题逻辑

前面部分内容略

范式

析取范式和合取范式

文字：命题变元或变元的否定
短语\(\wedge\)（合取式）：有限个文字的合取（\(文字\wedge ...\wedge 文字\)，或\(文字\)）
子句\(\vee\)（析取式）：有限个文字的析取（\(文字\vee ...\vee 文字\)，或\(文字\)）
合取范式：有限个子句的合取式（\(子句\wedge ...\wedge 子句\)，或单个\(子句\)）
析取范式：有限个短语的析取式（\(短语\vee ...\vee 短语\)，或单个\(短语\)）

例：
\(~P、P\)是文字，\((P)\)不是文字
\(P\wedge Q、P\wedge Q\wedge R、(P\wedge Q)\)是短语，\(P\wedge (Q)、P\wedge (Q\wedge R)、\sim (P\wedge Q)\)不是短语，子句与此类似
\(P\wedge Q\wedge R\)是析取范式、合取范式，\((P\wedge Q\wedge R)\)只能是析取范式
\((P\wedge Q) \vee (Q\wedge R)\)是析取范式，\(P\wedge (Q\wedge R)、\sim (P\wedge Q)\)既不是析取范式、也不是合取范式

主析取范式和主合取范式

极小项：每个命题变元或其否定按序不重复出现的短语
极大项：每个命题变元或其否定按序不重复出现的子句
主合取范式：每一个子句都是极大项的合取范式
主析取范式：每一个短语都是极小项的析取范式

例：
对于命题变元\(P,Q,R\)，有
\(P\wedge Q\wedge R,\;P\wedge \sim Q\wedge R\)是极小项（为真时对应的编码分别为111和101）
\(P\vee Q\vee R,\;\sim P\vee Q\vee \sim R\)是极大项（为假时对应的编码分别为000和101）

\[对于同一命题变元序列下的不同极小项m和极大项M，范式取值规定有：\\ M_{i}\wedge M_{j}=1,\; i\neq j \\ m_{i}\vee m_{j}=0,\; i\neq j \\ M_{i}=\sim m_{i},\;m_{i}=\sim M_{i} \\ \]

\[主析取范式\to 主合取范式（反过来类似）：\\ 对于所有编码的集合E,\;存在A\subseteq E\\ G=\vee_{i\in A}m_{i}\\ G=\sim \sim \vee_{i\in A}m_{i}\\ G=\sim \wedge_{i\in A}\sim m_{i}\\ G=\sim \wedge_{i\in A}M_{i}\\ G=\wedge_{i\in E-A}M_{i} \]

就是对每个极小元(极大元)取反，然后再取补集
或者先取补集，然后对每个极小元(极大元)取反 ←推荐这样做，因为容易对着真值表写

注意，取反操作是因为极小元和极大元的编码规则不一样
对于极小元，编码对应的各元素的值使得极小元为真，比如\(P\wedge Q\wedge R\)，对应编码为\(111\)
对于极大元，编码对应的各元素的值使得极大元为假，比如\(P\vee Q\vee R\)，对应编码为\(000\)

范式的应用

将命题公式转变为范式，判断公式类型（永真/永假/可满足式）、证明是否等价
永真公式无主合取范式，永假公式无主析取范式

命题逻辑的推理理论

推理的基本概念和推理形式

有效推理：\(\Gamma \Rightarrow H\)

\[对于任意解释I均满足\Gamma 时，I也满足H\\ 其中一组前提\Gamma =\{G_{1},G_{1},...,G_{n}\},\;\;而前提G和逻辑结果H均是公式 \]

\[\{G_{1},G_{1},...,G_{n}\} \Rightarrow H成立\\ 当且仅当G_{1}\wedge G_{1}\wedge ...\wedge G_{n}\to H为永真公式 \]

推理定律：
真值表法：
检查前提均为真时结论是否为真
公式转换法：
证明\(G_{1}\wedge G_{1}\wedge ...\wedge G_{n}\to H\)为永真公式
演绎法：直接证明
规则P：引用前提
规则T：引用等价公式
规则CP（附加前提）：欲证\(\Gamma \Rightarrow P\to S\)即证\(\Gamma ,P\Rightarrow S\)
反证法：
欲证\(G_{1}, G_{2}, ..., G_{n}\Rightarrow H\)即证\(G_{1}\wedge G_{2}\wedge ...\wedge G_{n}\wedge \sim H\)永假（不一致）
一致：对于\(G_{1}, G_{2}, ..., G_{n}\)，存在解释\(I\)使得\(G_{1}\wedge G_{2}\wedge ...\wedge G_{n}\)为真