概率论笔记（1）

注：笔记主要来自北大出版社出的《概率论与数理统计》一书，侵删
若有不当，欢迎指出

第一章（概率论的基本概念）

第一节（样本空间、随机事件）

随机试验（E）：

1. 可以在相同的条件下重复进行。
2. 每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验所有可能出现的结果。
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

样本空间（\(\Omega\)）：随机试验E的所有基本结果组成的集合。

必然事件：\(\Omega\)
不可能事件：\(\varnothing\)

样本点：样本空间的元素（E的每个基本结果）

基本事件：由一个样本点组成的单点集（用大写字母表示）。
复合事件：由基本事件复合而成。

事件之间的关系

• \(A\subset B\)：A发生必然导致事件B发生
• \(A\cup B\)：事件A与B至少有一个发生（\(A+B\)的用法大致一样，不过约定上\(+\)一般是用在两个互斥事件上）
• \(A\cap B\)：事件A与B同时发生
• \(A-B\)：事件A发生而B不发生（注：\(A-\Omega =\varnothing\)）
• \(A\cap B=\varnothing\)：事件A与B不可能同时发生（互斥）
• \(A\cup B=\Omega\)且\(A\cap B=\varnothing\)：事件A与事件B互为对立事件（互为逆事件）,A的对立事件记为\(\overline{A}\)（显然\(\overline{A}=\Omega -A\)）

事件之间的运算
略，与集合的运算相同

第二节（概率、古典概型）

频率：\(f_{n}(A)=\frac{k}{n}\)，\(n\)次试验发生了\(k\)次
频率性质：

• \(0\leqslant f_{n}(A)\leqslant 1\)
• \(f_{n}(\Omega )=1\)
• \(f_{n}(\bigcup_{i=1}^{m}A_{i})=\sum_{i=1}^{m}f_{n}(A_{i})\)

概率的公理化定义
（P(A)为事件A的概率）

• 非负性：\(P(A)\geqslant 0\)
• 规范性：\(P(\Omega )=1\)
• 可数可加性：\(P(\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty }P(A_{n})\)

概率的性质

• \(P(\varnothing)=0\)
• \(P(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k})=\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})\)
• \(P(B-A)=P(B)-P(AB)\)
• \(A,B\)为两个事件，若\(A\subset B\),有：\(P(B-A)=P(B)-P(A) ,P(A)\leqslant P(B)\)
• 任意事件\(A\)有\(P(A)\leqslant 1=P(\Omega)\)
• 任意事件\(A\)有\(P(\overline{A})=1-P(A)\)
• 任意事件\(A,B\)，有：\(P(A_{1}\cup A_{2}\cup ... \cup A_{n})=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})-\sum_{1\leqslant i< j\leqslant n}P(A_{i}A_{j})+\sum_{1\leqslant i< j< k\leqslant n}P(A_{i}A_{j}A_{k})-...+(-1)^{n-1}P(A_{1}A_{2}...A_{n})\)

古典概型（等可能概型）

• 试验的样本空间\(\Omega\)只有有限个样本点，即\(\Omega =\left\{{\omega}_{1},{\omega}_{2},...,{\omega}_{n}\right\}\)
• 试验中每个基本事件的发生是等可能的，即\(P(\left\{{\omega}_{1}\right\})=P(\left\{{\omega}_{2}\right\})=...=P(\left\{{\omega}_{n}\right\})\)

几何概型特点

• 样本空间\(\Omega\)是一个几何区域，可度量为\(m(\Omega)\)
• 若落在区域\(\Omega\)内任意点等可能，则落在区域\(A\)的可能性正比于\(m(\Omega)\)，与\(A\)的位置和区域无关

第三节（条件概率、全概率公式）

条件概率：\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)（\(A,B\)为两个事件，且\(P(B)>0\)，\(P(A|B)\)为\(B\)已发生下A发生的概率，\(“|”\)优先级比\("\cup "\)低）

乘法定理：\(P(A_{1}A_{2}...A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})...P(A_{n}|A_{1}A_{2}...A_{n-1})\)
（\(A_{1},A_{2},...,A_{n}\)为n个事件，且\(P(A_{1}A_{2}...A_{n})>0\)）

对样本空间\(\omega\)的划分：
\(\omega\)为样本空间，\(A_{1},A_{2},...,A_{n}\)为\(\omega\)的一组事件
\(A_{1},A_{2},...,A_{n}\)为\(\omega\)的一个划分，当且仅当

• \(A_{i}A_{j}=\phi,i\neq j;i,j=1,2,...,n\)
• \(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\omega\)

全概率公式：\(P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})\)（\(B\)为样本空间\(\omega\)的任一事件，\(A_{1},A_{2},...,A_{n}\)为\(\omega\)的一个划分，且\(P(A_{i})>0\)，\(i=1,2,...,n\)）
贝叶斯公式（逆概率公式）：\(P(A_{i}|B)=\frac{P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(B|A_{j})P(A_{j})},i=1,2,...,n.\)（样本空间为\(\omega\)，B为\(\omega\)中的事件，\(A_{1},A_{2},...,A_{n}\)为\(\omega\)的一个划分，且\(P(B)>0,P(A_{i})>0\)，\(i=1,2,...,n\)）

第四节（独立性）

事件独立性的定义：事件\(A_{1},A_{2}\)，满足\(P(A_{1}A_{2})=P(A_{1})P(A_{2})\)
定理：事件\(A,B\)独立，则\(A,\overline{B}\)独立，\(\overline{A},B\)独立，\(\overline{A},\overline{B}\)独立
定理：事件\(A,B\)独立，且\(0<P(A)<1\)，则\(P(B|A)=P(B|\overline{A})=P(B)\)
两两独立和相互独立：事件的相互独立是两两独立的充分不必要条件。（区分：事件的相互互斥和两两互斥是充分必要条件）

互斥->不相容->不独立
不互斥->相容->可独立
若独立与互斥等价，则事件A，B至少一个为\(\phi\)

伯努利试验：试验\(E\)只有两个可能结果\(A\)和\(\overline{A}\)（独立重复地进行n次，则称为n重伯努利试验）
\(P(C_{1}C_{2}...C_{n})=P(C_{1})P(C_{2})...P(C_{n})\)（\(C_{i}\)为第i次试验的结果，\(C_{i}\)为\(A\)或\(\overline{A}\)，\(i=1,2,...,n\)）
\(n\)重伯努利试验中\(A\)出现\(K\)次的概率：\(P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,N.\)