dilworth

Dilworth 定理

前置铺垫

偏序关系 R

自反性 \((a,a)\in R\)
反对称性 \((a,b)\in R, (b,a)\in R \rightarrow a=b\)
传递性 \((a,b)\in R, (b,c)\in R \rightarrow (a,c)\in R\)

链：集合 \(S\)

满足 $\forall x,y \in S,(x,y)\in R $ 或 \((y,x)\in R\)

反链：集合T

满足 \(\forall x,y \in T\),\((x,y)\notin R\) 且 \((y,x)\notin R\)

Dilworth 定理

最小链覆盖 = 最长反链 （挺简短的不是吗）

1. 要求最小链覆盖 \(\rightarrow\) 最长反链(dp)
2. 要求最长反链 \(\rightarrow\) 最小链覆盖（网络流）

P1020 导弹拦截

设每个导弹 \((i,a_i)\) 。

二元关系：

1. 自反
2. \(i<j\) 且 \(a_i\ge a_j\)

反链 : \(i<j a_i<a_j\)

P3974 组合数学