【数论】BSGS

BSGS(baby-step giant-step)

学习资料：OI Wiki

基础篇

BSGS (baby-step giant step)，常用于求解离散对数问题，该算法可以在 \(\mathcal{O(\sqrt p)}\) 的时间内求解

\[a^x \equiv b\quad (mod\;p) \]

其中 \(a\,\bot\,p\) 。方程的解 \(x\) 满足 \(0\le x<p\)。

算法描述

令 \(x=A[\sqrt p]-B\)，其中 \(0\le A,B\le \lceil \sqrt p\rceil\) ，则有

\[a^{A\lceil\sqrt p\rceil -B}\equiv b\;(mod\,p) \]

稍加变换，则有

\[a^{A\lceil\sqrt p\rceil}\equiv ba^B\;(mod\,p) \]

。

我们已知的是 \(a,b\)，所以我们可以先算出等式右边的 \(ba^B\) 的所有取值，枚举 \(B\)，用 hash / map 存下来，然后逐一计算 \(a^{A\lceil\sqrt p\rceil}\) ，枚举 \(A\) ，寻找是否有与之相等的 \(ba^B\) ，从而我们可以得到所有的 \(x\)，\(x=A\lceil\sqrt p\rceil-B\) 。

注意到 \(A,B\) 均小于 \(\lceil\sqrt p\rceil\)，所以时间复杂度为 \(\mathcal{Q(\sqrt p)}\)，用 map 则多用一个 \(log\) 。

扩展篇

接下来我们求解

\[a^x\equiv b\quad(mod\;p) \]

其中 \(a,p\) 不一定互质。

具体地，设 \(d_1=gcd(a,p)\) 。如果 \(d_1\nmid b\) ，则原方程误解。否则我们把方程除以 \(d_1\) ，得到

\[\frac{a}{d_1}\cdot a^{x-1}\equiv\frac{b}{d_1}\quad(mod\;\frac{p}{d_1}) \]

如果 \(a\) 和 \(\frac{p}{d_1}\) 仍不互质就再除，设 \(d_2=gcd(a,\frac{p}{d_1})\) 。如果 \(d_2\nmid \frac{p}{d_1}\) ，则方程无解；否则同时除以 \(d_2\) 得到

\[\frac{a^2}{d_1d_2}\cdot a^{x-2}\equiv\frac{b}{d_1d_2}\quad(mod\;p) \]

同理，这样不停判断下去直到 \(a\bot\frac{p}{d_1d_2\cdots d_k}\) 。

记 \(D=\prod^k_{i=1}d_i\) ，于是方程就变成了这样：

\[\frac{a^k}D\cdot a^{x-k}\equiv\frac bD\quad(mod\;\frac pD) \]

由于 \(a\bot \frac pD\) ，于是推出 \(\frac{a^k}D\bot\frac pD\) 。这样 \(\frac{a^k}D\) 就有逆元了，于是把它丢到方程右边，这就是一个普通的 BSGS 问题了，于是求解 \(x-k\) 后再加上 \(k\) 就是原方程的解。

注意，不排除解小于等于 \(k\) 的情况，所以在消因子之前做一下 \(\mathcal{O(k)}\) 枚举，直接验证 \(a^i\equiv b\;(mod\,p)\) ，这样就能避免这种情况。

BSGS && exBSGS 模板

luoguP4195

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll kpow(ll a,int b,int p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){x=1;y=0;return a;}
    ll g=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y;
    y=t-a/b*y;
    return g;
}
ll inv(ll a,ll p)//exgcd求逆元， 前提 gcd(a,p)==1
{
    ll x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    x=(x+p)%p;
    if(!x)x+=p;
    return x;
}
map<int,int>mp;
int BSGS(ll a,ll b,ll p)// gcd(a,p)==1
{
    a%=p;b%=p;
    int sp=ceil(sqrt(p));
    ll pa=b,ap=kpow(a,sp,p);mp.clear();
    for(int i=0;i<sp;i++,pa=pa*a%p)mp[pa]=i;
    pa=1;
    for(int i=0,j=0;i<=sp;i++,pa=pa*ap%p,j+=sp)
        if(mp.count(pa)&&j-mp[pa]>=0)return j-mp[pa];
    return -1;
}
int exBSGS(ll a,ll b,ll p)
{
    a%=p;b%=p;
    int k=0,t;ll tp=p,tb=b,ta=1;
    while((t=__gcd(a,tp))!=1){
        if(tb%t)return -1;
        tp/=t,tb/=t,ta=ta*a/t%tp;k++;
    }
    for(int i=0;i<=k;i++)
        if(kpow(a,i,p)==b)return i;
    tb=tb*inv(ta,tp)%tp;
    return BSGS(a,tb,tp)+k;
}
int main()
{
    ll a,b,p;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&p,&b)&&(a||b||p))
    {
        int res=exBSGS(a,b,p);
        if(res==-1)puts("No Solution");
        else printf("%d\n",res);
    }
}