导数放缩

导数放缩

施工中.

放缩之前：

是否对指数对数的性质熟悉？

对于每一个指数对数和 \(x\) 组合出来的函数, 按顺序考虑如下问题:

• 定义域?
• 有最大最小值吗? (存在性)
• (唯一性: 全都是唯一的, 不考虑: 实际上大部分高中的问题都不用考虑唯一性)
• 最大/最小值是多少?
• 在自变量是几的时候取到?

\[x \exp (x) \]

\[x \log (x) \]

$$ \frac{\log (x)}{x} $$ $$ \frac{\exp (x)}{x} $$

补充:

指数对数放缩

更进阶的感觉需要天赋, 或者说对函数的直觉? 提问：自身是否有这方面的天赋？是否需要拿这里的分数？

本质：泰勒/麦克劳林展开

等号成立的条件都显然, 所以省略.

\[e^x \geq x + 1 \quad \]

$$ \ln x \leq x - 1 $$

\[e^x \leq ex \]

$$ \ln x \leq x/e $$

ALG 不等式

在算数平均和几何平均之间插入的一个元素:

\[\sqrt{a b}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}{2} . \]

(中间蓝色的一层就是含有对数的成分)

🌰

Reference https://zhuanlan.zhihu.com/p/39442459

求证: 当 \(a>0\) 时, 不等式 \(e^{2 x}-a \ln x \geqslant 2 a+a \ln \frac{2}{a}\) 恒成立.

正常做法: 更换主元

放缩? 感觉更应该叫配凑, 但是用的是放缩的经验;

\[\left(e^{2 x}- 2ax \right) + \left( 2ax - a \ln x\right) \geqslant 2 a+a \ln \frac{2}{a} \]

指数和对数在一起肯定是求导多少次都无法变没的,

回忆:

• 指数函数是一个向下凸的函数
• 对数函数是一个向上凸的函数

而且都只有一个凸起;

在放缩中指数和对数中间是夹着一个一次函数的;

所以能尝试构造最小值.

三角函数

\[\begin{aligned} & \sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+o\left(x^3\right) \\ & \cos x=1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right) \\ & \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15} x^5+o\left(x^5\right) \\ & \cot x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+o\left(x^3\right) \\ & \sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5}{24} x^4+o\left(x^4\right) \\ & \csc x=\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+\frac{7}{360} x^3+o\left(x^3\right) \\ & \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}++o\left(x^3\right) \\ & \arccos x=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right) \\ & \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right) \\ & \operatorname{arccot} x=\frac{\pi}{2}-x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right) \end{aligned} \]

了解或者记住前三个即可.

练习

1. 证明以下不等式, 并且如果可能, 你需要:

• 明确自变量范围;

• 确定取等条件;

\[\ln(t - 1) \geq \ln \ln t \]

\[e^x > \ln x + 2 \]

\[\ln x + 1< e^{x/e} \]

2. 假设 \(x = (x_1, x_2, x_3)\) 是单位球上的一个点, 且 \(x_1,x_2, x_3 > 0\) 证明:

\[\ln x_1x_2x_3 \leq \sqrt{3} - 3. \]

3. 使用 \(e^x \geq ex\) 来证明 \(x - 1 \geq \ln x\). (另外两个关系也有类似的关系)