Counting

Counting

Type	Repetition Allowed?	Formula
r-permutations	No	$P_n^k =r! { n \choose k } $
r-combinations	No	\(C_n^k = {n \choose r}\)
r-permutations	Yes	\(n^k\)
r-combinations	Yes	$C_{n+k-1}^k = {n+k-1 \choose k} $

r-combinations with repetition allowed

两种解读:

• 和是 \(k\) 的非负整数解的数量:

\[\sum_{i = 1}^n x_i = k \]

• 从 \(n\) 个数里可以重复地选出 \(k\) 个, 一共有多少种选择方法;
  • 这样上面的式子里面的 \(x_i\) 就解释为在下标 \(i\) 位置的数字要选 \(x_i\) 次, 共计选择 \(k\) 次.

经典例子:

\[\begin{aligned} & k:=0 \\ & \quad \text { for } i_1:=1 \text { to } n \\ & \quad \quad \text { for } i_2:=1 \text { to } i_1 \\ & \quad \quad \quad ... \\ & \quad \quad \quad \text { for } i_m:=1 \text { to } i_{m-1} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad k:=k+1 \\ & \end{aligned} \]

\(k\) 的值相当于从 \(n\) 个数中可以重复地抽 \(m\) 个出来. 也就是有 \(n\) 个间隙（也就是有 \(n - 1\) 个挡板），把 \(m\) 个物品放到这些间隙中.

\(k ={n+m-1 \choose m}\).

distinguishable objects and distinguishable boxes

以下描述等价：

• indistinguishable objects and indistinguishable boxes

• \(n\) 个不相同的物品，分到不相同的 \(k\) 盒子里，分进每个盒子之后没有顺序；

• 也可以理解为 \((x_1 +x_2 + ... +x_k)^n\) 中 \(\prod_i^k x_i\) 的系数；

\[\frac{n !}{n_{1} ! n_{2} ! \cdots n_{k} !} \]

distinguishable objects and indistinguishable boxes

\(n\) 个不相同的物品，分到 \(k\) 个一模一样的盒子里，(分进每个盒子之后没有顺序)；

No closed form.

Stirling numbers of the second kind

\(S(n, j)\) ：\(n\) 个不相同的物品，分到 \(k\) 个一模一样的盒子里，每个盒子里至少分到 1 个物品（包括 1 个）；

\[S(n, j)=\frac{1}{j !} \sum_{i=0}^{j-1}(-1)^i\left(\begin{array}{l} j \\ i \end{array}\right)(j-i)^n \]

如果允许有空盒，就考虑分成各种子情况再相加，也就是 \(\sum_{j=1}^k S(n, j)\).

\[\sum_{j=1}^k S(n, j)=\sum_{j=1}^k \frac{1}{j !} \sum_{i=0}^{j-1}(-1)^i\left(\begin{array}{l} j \\ i \end{array}\right)(j-i)^n \]

https://core.ac.uk/download/pdf/82771307.pdf

和 numbers of onto function 的关系:

Let \(m\) and \(n\) be positive integers with \(m \geq n\). Then, there are

\[n^m-C(n, 1)(n-1)^m+C(n, 2)(n-2)^m-\cdots+(-1)^{n-1} C(n, n-1) \cdot 1^m \]

onto functions from a set with \(m\) elements to a set with \(n\) elements.

\[S(m, n) = \frac{1}{n!}\left[ n^m-C(n, 1)(n-1)^m+C(n, 2)(n-2)^m-\cdots+(-1)^{n-1} C(n, n-1) \cdot 1^m\right] \]

注意符号有点乱.

因为 onto function 的值域每个元素都是不一样的, 可以理解为第二类斯特林数是 onto function 数量的去重.

递推关系：

\[S(n\,+\,1,\,r)=S(n,\,r\,-\,1)\,+\,r S(n,\,r). \]

解释: 考虑新加入一个元素,

• \(S(n,\,r\,-\,1)\) 这个元素单独一组.
• $ rS(n,,r)$ 这个元素需要加入到已经存在的组里面. 虽然说在第二类斯特林数里面箱子是完全一样的, 但是箱子里面放了元素于是就不一样了. 可以理解为一共有 \(r\) 个不一样的箱子.

一些别的：

\[n\geq 1,\,S(n,\,1)\,=\,S(n,\,n)\,=\,1, \]

分成两类就是

\[S(n,\,2)\,=\,2^{n-1}\,-\,1 \]

\[S(n,\,n\,-\,1)\,=\,\textstyle{\frac{1}{2}}n(n\,-\,1). \]

这样写会更直观：

\[\begin{array}{ c c c c c c c} & & & & & & 1 \\ & & & & & 1 & & 1 \\ & & & & 1 & & 3 & & 1 \\ & & & 1 & & 7 & & 6 & & 1 \\ & & 1 & & 15 & & 25 & & 10 & & 1 \\ \end{array} \]

indistinguishable objects and indistinguishable boxes

No closed form.

indistinguishable objects and distinguishable boxes

和 r-combinations with repetition allowed 等价.

尽管等价但是注意 \(n\) 和 \(k\) 的位置发生了变化.

• \(k\) 个一模一样的物品放到 \(n\) 个不一样的盒子里
  • \(n\) 个间隙，也就是 \(n-1\) 个挡板，和 \(k\) 个物品
  • \({n+k-1 \choose k}\)
• 从 \(n\) 个不相同的物品里面可以重复地取出 \(k\) 个物品，取出后没有顺序
  • 在 \(n\) 个物品前面放一个计数用的盒子，有 \(k\) 根竹签，要娶一下第 \(k\) 个就放一根竹签在盒子里.
  • \(n\) 个盒子可以看成 \(n - 1\) 个挡板.
  • \({n+k-1 \choose k}\)

Catalan numbers

• \(n\) 组括号的合法运算数；
• ...

\[\begin{aligned} C_{n}&=C_{0}C_{n-1}+C_{1}C_{n-2}+\cdot\cdot\cdot\cdot+C_{n-2}C_{1}+C_{n-1}C_{0} \\ &=\sum_{k=0}^{n-1}C_{k}C_{n-k-1} \end{aligned} \]

\[C_n=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right)=\frac{(2 n) !}{(n+1) ! n !} \]