常用排序算法
笔者最近学习算法，学了很久也只弄懂了几个排序算法，在这里晒一下下，作为以后参考之用。
一、为什么要研究排序问题
许多计算机科学家认为，排序算法是算法学习中最基本的问题，原因有以下几点：
l 有时候应用程序本身需要对信息进行排序，如为了准备客户账目，银行需要对支票账号进行排序
l 很多算法将排序作为关键子程序
l 现在已经有很多排序算法，它们采用各种技术
l 排序时一个可以证明其非平凡下界的问题，并可以利用排序问题的下界证明其他问题的下界
l 在实现排序算法是很多工程问题即浮出水面
二、排序问题的形式化定义
输入：由n个数组成的一个序列<a1,a2,……,an>
输出：对输入序列的一个排列（重排）<a1’,a2’,……,an’>,使得a1’ ≤a2’ ≤……≤an’
【说明】在实际中，待排序的数很少是孤立的值，它们通常是成为激励的数据集的一个部分，每个记录有一个关键字key,是待排序的值，其他数据位卫星数据，它们通常以key为中心传递。
三、相关概念
1. 排序的稳定性：在待排序的文件中，若存在多个关键字相同的记录，经过排序后这些具有相同关键字的记录之间的相对次序保持不变，该排序方法是稳定的；若具有相同关键字的记录之间的相对次序发生变化，则称这种排序方法是不稳定的。
A. 稳定排序：插入排序、冒泡排序、鸡尾酒排序、计数排序、合并交换排序、归并排序、基数排序、桶排序、鸽巢排序
B. 不稳定排序：选择排序、堆排序、希尔排序、快速排序
2. 内部、外部排序：在排序过程中，若整个文件都是放在内存中处理，排序时不涉及数据的内、外存交换，则称之为内部排序(简称内排序)；反之，若排序过程中要进行数据的内、外存交换，则称之为外部排序。
3. 待排文件的常用存储方式：
A. 顺序表：对记录本身进行物理重排（即通过关键字之间的比较判定，将记录移到合适的位置
B. 链表：无须移动记录，仅需修改指针
C. 用顺序的方式存储待排序的记录，但同时建立一个辅助表：对辅助表的表目进行物理重排（即只移动辅助表的表目，而不移动记录本身）。
4. 影响排序效果的因素
A. 待排序的记录数目n
B. 记录的大小(规模)
C. 关键字的结构及其初始状态
D. 对稳定性的要求
E. 语言工具的条件
F. 存储结构
G. 时间和辅助空间复杂度等
四、排序算法的分类（内部排序）
1. 比较类排序：排序结果中各元素的次序基于输入元素间的比较
A. 比较排序算法的下界
比较排序可以被抽象为决策树。一棵决策树是一棵满二叉树，表示某排序算法作用于给定输入所做的所有比较，而忽略控制结构和数据移动。
在决策树中，对每个节点都注明i，j（1≤i，j≤n），
对每个叶节点都注明排列<π(1), π(2),……, π(n)>。排序算法的执行对应于遍历一条从根到叶节点的路径。在每个内节点作比较ai≤aj，其左子树决定ai≤aj之后的比较，其右子树决定ai＞aj之后的比较。当到达一个叶节点时排序算法就已经确定了顺序。要使排序算法能正确的工作，其必要条件是n个元素的n!种排列都要作为决策树的一个叶节点出现。在决策树中，从根到任意一个可达叶节点之间最长路径的长度（决策树的高度）表示对应的排序算法中最坏情况下的比较次数。对于一棵高度为h，具有l个可达叶节点的决策树有n! ≤l≤2h，则有h≥lg(n!)=Ω(nlgn)
B. 常见的比较类排序
a) 选择类排序：选择排序、堆排序
b) 插入类排序：插入排序、二叉插入、两路插入、希尔排序
c) 交换类排序：冒泡排序、鸡尾酒排序、合并交换排序、快速排序
d) 归并排序
2. 非比较类排序：计数排序、基数排序、桶排序、鸽巢排序
五、常用的排序算法
1. 比较类排序
A. 选择类排序
a) 选择排序（Selection Sort）——原地排序、不稳定排序
【思路】首先找出A中最小元素，并将其与A[0]中元素交换；接着找出A中次最小元素，并将其与A[1]中元素交换；对A中头n-1个元素继续这一过程
【代码】
#region 选择排序
/// <summary>
/// 选择排序
/// 最差时间复杂度 Θ(n²)
/// 最优时间复杂度 Θ(n²)
/// 平均时间复杂度 Θ(n²)
/// 原地排序
/// 【排序过程】
/// 1、首先在未排序序列中找到最小元素，存放到排序序列的起始位置
/// 2、然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小元素，然后放到排序序列末尾
/// 3、以此类推，直到所有元素均排序完毕。
/// </summary>
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
public static void SelectionSort(int[] Array)
{
for (int i = 0; i < Array.Length; i++)
{
for (int j = i + 1; j < Array.Length; j++)
{
if (Array[j] < Array[i])
{
Swap(ref Array[i], ref Array[j]);//交换数据
}
}
}
}
#endregion
【时间复杂度分析】选择排序的比较操作为n(n − 1) / 2次，交换操作介于0和n(n − 1) / 2次之间，故其时间复杂度为Θ(n2)
b) 堆排序（Heap Sort）
六、代码
【二叉堆】（二叉）堆数据结构是一种数组对象，可以被视为一棵完全二叉树。二叉堆有两种：大顶堆和小顶堆（最大堆和最小堆）。大顶堆中每个节点的值不大于其父节点的值，这样，堆中最大的元素就存放在根节点中。
【思路】首先将输入数组构造成大顶堆；由于数组中最大元素为A[0]，将其与A[n]交换使其达到最终正确位置；在堆中除去A[n]，并将A[1…n]保持为大顶堆；重复上述过程，直到堆大小降为2。
【代码】由思路知堆排序中应包含构造大顶堆和保持大顶堆子程序。MaxHeapify方法被用来保持大顶堆，其时间复杂度为O(lgn)
/// <summary>
/// 调整数组,保持大顶堆性质
/// </summary>
/// <param name="Array">待保持大顶堆的数组</param>
/// <param name="i">大顶堆的根</param>
/// <param name="HeapSize">堆的大小</param>
private static void MaxHeapify(int[] Array, int i, int HeapSize)
{
int left = i * 2;
int right = left + 1;
int largest;
if (left < HeapSize && Array[left] > Array[right])
{
largest = left;
}
else
{
largest = i;
}
if (right < HeapSize && Array[right] > Array[largest])
{
largest = right;
}
if (largest != i)
{
Swap(ref Array[i], ref Array[largest]);
MaxHeapify(Array, largest, HeapSize);
}
}
/// <summary>
/// 调整数组,保持大顶堆性质(迭代实现)
/// </summary>
/// <param name="Array">待保持大顶堆的数组</param>
/// <param name="i">大顶堆的根</param>
/// <param name="HeapSize">堆的大小</param>
private static void MaxHeapifyWithoutRecursive(int[] Array, int i, int HeapSize)
{
while (i <= HeapSize)
{
int left = i * 2;
int right = left + 1;
int largest;
if (left < HeapSize && Array[left] > Array[right])
{
largest = left;
}
else
{
largest = i;
}
if (right < HeapSize && Array[right] > Array[largest])
{
largest = right;
}
if (largest != i)
{
Swap(ref Array[i], ref Array[largest]);
i = largest;
}
else
{
return;
}
}
}
/// <summary>
/// 构造大顶堆
/// </summary>
/// <param name="Array">待构造大顶堆的数组</param>
private static void BuildMaxHeapify(int[] Array)
{
int HeapSize = Array.Length;
for (int i = (Array.Length - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
// MaxHeapify(Array, i, HeapSize); //递归实现
MaxHeapifyWithoutRecursive(Array, i, HeapSize); //迭代实现
}
}
堆排序代码如下：
【时间复杂度分析】调用BuildMaxHeap时间为O(n)，n-1次调用MaxHeapify，每次时间为O(lgn)，故堆排序时间复杂度为O(nlgn)
