基础算法 前缀和与差分

基础算法 前缀和与差分

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一、前缀和

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一维前缀和

原数组：\(a_1、a_2、a_3、a_4、a_5.....a_n\)

前缀和：\(S_i=a_1+a_2+a_3+...+a_i\)，\(S_0=0\) 从1开始，为了处理边界问题

求区间和：\(S_{l-r}=S_r-S_{l-1}\)

求\(S_i\)：可以同样用区间和求前缀和：\(S_i=S_i-S_0\)，如\(S_{10}=S_{10}-S_0\)

例题：795. 前缀和 - AcWing题库

for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 前缀和的初始化

while (m--) {
    int l, r;
    scanf("%d%d", &l, &r);
    printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);	// 区间和的计算
}

二维前缀和

容斥原理的思想

二维原数组 \(a_{11},a_{12},,,,a_{1m}\)

​ \(a_{21},a_{22},,,,a_{2m}\)

​ ，，，

​ \(a_{n1},a_{n2},,,,a_{nm}\)

前缀和：\(S_{ij}=S_{i-1j}+S_{ij-1}-S_{i-1j-1}+a_{ij}\)

区间和：\(S[x_1\sim x_2,y_1\sim y_2]=\)\(S_{x_2y_2}-S_{x_2y_1-1}-S_{x_1-1y2}+S_{x_1-1y_1-1}\)

例题：796. 子矩阵的和 - AcWing题库

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];	// 前缀和
    }
}
while (q--) {
    int x1, x2, y1, y2;
    scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
    printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1]); // 区间和、部分和、子矩阵的和
}

二、差分

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差分为前缀和的逆运算

假设函数\(S=f(x)\) ，为求x 的前缀和，则\(a = f(b)\)，\(b = f^{-1}(a)\)

一维差分

区间修改\(O(n)\)

数组a：\(a_1,a_2,a_3,,,,,,a_n\) (前缀和)

构造数组b：\(b_1,b_2,b_3,,,,,,b_n\) （差分）

使得：a为b的前缀和：\(a_i=b_1+b_2+b_3+,,,+b_i\)，b称为a的差分，对b求一下前缀和得到a

满足：\(b_1=a_1\)，\(b_2=a_2-a_1\)，\(b_3=a_3-a_2\)，，，，\(b_n=a_n-a_{n-1}\)

对a的一些操作，比如在a的[l~r]区间全部数加上一个c，只需要在差分b里的b[l]加上c和b[r+1]

减去c，最后再求解前缀和就可以。

例题：797. 差分 - AcWing题库

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1000010;
int n, m;
int a[N], b[N];

// 求差分数组、插入部分可用此函数代替，insert(i, i, a[i]) insert(l, r, c)
void insert(int l, int r, int c) {
    b[l] += c;
    b[r + 1] += c;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = a[i] - a[i - 1]; // 求差分数组
    while (m--) {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        b[l] += c, b[r + 1] -= c; 	// 插入
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] += b[i - 1]; // 求前缀和
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("%d ", b[i]);
    }
    return 0;
}

二维差分

容斥原理的思想

二维原数组a \(a_{11},a_{12},,,,a_{1m}\) 构造差分数组b \(b_{11},b_{12},,,,b_{1m}\)

​ \(a_{21},a_{22},,,,a_{2m}\) \(b_{21},b_{22},,,,b_{2m}\)

​ ，，， ，，，

​ \(a_{n1},a_{n2},,,,a_{nm}\) \(b_{n1},b_{n2},,,,b_{nm}\)

使得a为b的前缀和数组，b为a的差分数组

对a的[x1,y1~x2,y2]全部数加上c，等价于：

1. \(b_{x_1,y_1} += c\) 整个右下角全部加上c

2. \(b_{x_1,y_2+1} -= c\) 下面的部分

3. \(b_{x_2+1,y_1} -= c\) 右面的部分

4. \(b_{x_2+1,y_2+1} += c\) 加上重复减去的右下角

而初始的数组，a[i,j]相当于对a的[i,j~i,j]加上a[i,j]

例题：798. 差分矩阵 - AcWing题库

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            insert(i, j, i, j, a[i][j]); // 初始化差分数组
        }
    }
    
    while (q--) {
        int x1, x2, y1, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);		// 继续构造差分
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];	// 计算前缀和
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            printf("%d ", b[i][j]);	// 输出
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}