基础算法 高精度(大整数)
基础算法 高精度(大整数)
学习平台：AcWing
高精度的数一般比较大，普通的整型变量存不下，所以存在string里或者char[]里
一、高精度(大整数)加法 \(A + B\)
模拟数学的普通加法
\(len(A) <= 10^9\)，\(len(B) <= 10^9\)
-
为了方便地进行进位操作，将大整数的每一位倒着存放在整形数组
int[]里string a, b; vector<int> A, B; cin >> a >> b; for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0'); for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0'); -
进行加和操作
以下，变量
t既作为进位数，又作为加和的中间变量，t % 10为每位的结果，t / 10为进位数vector<int> C = add(A, B); vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) { vector<int> C; int t = 0; for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++) { if (i < A.size()) t += A[i]; if (i < B.size()) t += B[i]; C.push_back(t % 10); t /= 10; // 此时 t 进位数 } if (t) C.push_back(1); // 为图上S4的情况 return C; } -
倒序输出
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
二、高精度(大整数)减法 \(A - B\)
模拟数学的普通减法
\(len(A) <= 10^9\)，\(len(B) <= 10^9\)
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同样倒着存储，这样方便去除前导0，下面解释
string a, b; vector<int> A, B; cin >> a >> b; for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0'); for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0'); -
判断
A和B哪个大- \(A > B\)，\(C = A - B\)
- \(B > A\)，\(C = -(B - A)\)
if (cmp(A, B)) { vector<int> C = sub(A, B); for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i]; } else { vector<int> C = sub(B, A); cout << "-"; for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i]; } -
cmp比较代码先通过长度比较，若长度相等，遍历比较每一位。若全部相同，返回
truebool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B) { if (A.size() != B.size()) { return A.size() > B.size(); } for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) { if (A[i] != B[i]) { return A[i] > B[i]; } } return true; } -
进行减法操作
变量
t既作为借位数，也作为减法的中间变量。解释，每位的结果
(t + 10) % 10减法运算，每一位减法后都为
[-10 ~ 10]之间的数- 当 每位的结果 \(t=A[i]-B[i]-t_i > 0\)时，
t在[0,10]之间，则(t + 10)再% 10结果还是为t。 - 当 每位的结果 \(t=A[i]-B[i]-t_i < 0\)时，
t在[-10,0]之间，则t + 10再% 10结果为借位后的个位部分。
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) { vector<int> C; int t = 0; for (int i = 0; i < A.size(); i++) { t = A[i] - t; if (i < B.size()) t -= B[i]; C.push_back((t + 10) % 10); if (t < 0) t = 1; // 此时t = 1 和 t = 0为借位数 else t = 0; } while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去除前导0 return C; }为什么要去除前导零，最后几位减出来的0也同样被
push_back进去了
- 当 每位的结果 \(t=A[i]-B[i]-t_i > 0\)时，
三、高精度(大整数)乘法 \(A\times b\)
模拟数学的普通乘法
\(len(A) <= 10^9\)，\(b <= 10^6\)，对于\(A\times B\)的情况，以后会更新
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同样，为方便进位，倒序存储
string a; int b; vector<int> A; cin >> a >> b; for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0'); -
进行乘法操作
\(S_i=(C_i+A_i\times b)\%10\)
\(C_i=0\)，\(C_i+1=\lfloor \frac{C_i+A_i\times b}{10} \rfloor\)vector<int> C = mul(A, b); vector<int> mul(vector<int> &A, int b) { vector<int> C; int t = 0; for (int i = 0; i < A.size() || t; i++) { if (i < A.size()) t += A[i] * b; C.push_back(t % 10); t /= 10; } while (C.size() > 1 && C.back() == 0)c++ C.pop_back(); // 去除前导0 return C; }去除前导0操作，如\(12345\times0=00000\)，需要去除前导0
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最后倒序输出
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
四、高精度(大整数)除法(取余) \(A\div b\)
模拟数学的普通除法
\(len(A) <= 10^9\)，\(b <= 10^6\)，对于\(A\div B\)的情况，以后会更新
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不用倒序存储，为了方便与其他大整数运算结合，同样采用倒序存储
string a; int b, r = 0; cin >> a >> b; vector<int> A; for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0'); -
进行除法操作
根据上图，不难推出除法的一般式
\(r_i=(r_{i-1}\%10)\times10+A_i\)
\(S_i=r_i/b\)
除法与前面几种运算不同，从高位开始推导
vector<int> C = div(A, b, r); // A / b，商为C，余数为r vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) { vector<int> C; for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) { r = r * 10 + A[i]; C.push_back(r / b); r %= b; } reverse(C.begin(), C.end()); while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去除前导0 return C; }关于前导0，例如 \(121\div11=011\)，应除去前导0
最后reverse一下，去掉前导0
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最后倒序输出结果，并输出余数
rfor (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i]; cout << endl << r << endl;
