B树,B+树

B树

为什么要B树

磁盘中有两个机械运动的部分，分别是盘片旋转和磁臂移动。盘片旋转就是我们市面上所提到的多少转每分钟，而磁盘移动则是在盘片旋转到指定位置以后，移动磁臂后开始进行数据的读写。那么这就存在一个定位到磁盘中的块的过程，而定位是磁盘的存取中花费时间比较大的一块，毕竟机械运动花费的时候要远远大于电子运动的时间。当大规模数据存储到磁盘中的时候，显然定位是一个非常花费时间的过程，但是我们可以通过B树进行优化，提高磁盘读取时定位的效率。

为什么B类树可以进行优化呢？我们可以根据B类树的特点，构造一个多阶的B类树，然后在尽量多的在结点上存储相关的信息，保证层数尽量的少，以便后面我们可以更快的找到信息，磁盘的I/O操作也少一些，而且B类树是平衡树，每个结点到叶子结点的高度都是相同，这也保证了每个查询是稳定的。

简介

这里的B树，也就是英文中的B-Tree，一个 m 阶的B树满足以下条件：

1. 每个结点至多拥有m棵子树；
2. 根结点至少拥有两颗子树（存在子树的情况下）；
3. 除了根结点以外，其余每个分支结点至少拥有 m/2 棵子树；
4. 所有的叶结点都在同一层上；
5. 有 k 棵子树的分支结点则存在 k-1 个关键码，关键码按照递增次序进行排列；
6. 关键字数量需要满足ceil(m/2)-1 <= n <= m-1；

举个栗子：

B树上大部分的操作所需要的磁盘存取次数和B树的高度是成正比的，在B树中可以检查多个子结点，由于在一棵树中检查任意一个结点都需要一次磁盘访问，所以B树避免了大量的磁盘访问。

操作

既然是树，那么必不可少的操作就是插入和删除，这也是B树和其它数据结构不同的地方，当然了，还有必不可少的搜索，分享一个对B树的操作进行可视化的网址，它是由usfca提供的。

假定对高度为h的m阶B树进行操作。

插入

新结点一般插在第h层，通过搜索找到对应的结点进行插入，那么根据即将插入的结点的数量又分为下面几种情况。

• 如果该结点的关键字个数没有到达m-1个，那么直接插入即可；
• 如果该结点的关键字个数已经到达了m-1个，那么根据B树的性质显然无法满足，需要将其进行分裂。分裂的规则是该结点分成两半，将中间的关键字进行提升，加入到父亲结点中，但是这又可能存在父亲结点也满员的情况，则不得不向上进行回溯，甚至是要对根结点进行分裂，那么整棵树都加了一层。

其过程如下：

删除

同样的，我们需要先通过搜索找到相应的值，存在则进行删除，需要考虑删除以后的情况，

• 如果该结点拥有关键字数量仍然满足B树性质，则不做任何处理；
• 如果该结点在删除关键字以后不满足B树的性质（关键字没有到达ceil(m/2)-1的数量），则需要向兄弟结点借关键字，这有分为兄弟结点的关键字数量是否足够的情况。
  • 如果兄弟结点的关键字足够借给该结点，则过程为将父亲结点的关键字下移，兄弟结点的关键字上移；
  • 如果兄弟结点的关键字在借出去以后也无法满足情况，即之前兄弟结点的关键字的数量为ceil(m/2)-1，借的一方的关键字数量为ceil(m/2)-2的情况，那么我们可以将该结点合并到兄弟结点中，合并之后的子结点数量少了一个，则需要将父亲结点的关键字下放，如果父亲结点不满足性质，则向上回溯；
• 其余情况参照BST中的删除。

其过程如下：

B+树

为什么要B+树

由于B+树的数据都存储在叶子结点中，分支结点均为索引，方便扫库，只需要扫一遍叶子结点即可，但是B树因为其分支结点同样存储着数据，我们要找到具体的数据，需要进行一次中序遍历按序来扫，所以B+树更加适合在区间查询的情况，所以通常B+树用于数据库索引，而B树则常用于文件索引。(为什么B+树更适合做数据库索引)

简介

同样的，以一个m阶树为例：

1. 根结点只有一个，分支数量范围为[2，m]；
2. 分支结点，每个结点包含分支数范围为[ceil(m/2), m]；
3. 分支结点的关键字数量等于其子分支的数量减一，关键字的数量范围为[ceil(m/2)-1, m-1]，关键字顺序递增；
4. 所有叶子结点都在同一层；

 

B+树和二叉树、平衡二叉树一样，都是经典的数据结构。B+树由B树和索引顺序访问方法（ISAM，是不是很熟悉？对，这也是MyISAM引擎最初参考的数据结构）演化而来，但是在实际使用过程中几乎已经没有使用B树的情况了。

B+树的定义十分复杂，因此只简要地介绍B+树：B+树是为磁盘或其他直接存取辅助设备而设计的一种平衡查找树，在B+树中，所有记录节点都是按键值的大小顺序存放在同一层的叶节点中，各叶节点指针进行连接。

我们先来看一个B+树，其高度为2，每页可存放4条记录，扇出（fan out）为5。

可以看出，所有记录都在叶节点中，并且是顺序存放的，如果我们从最左边的叶节点开始顺序遍历，可以得到所有键值的顺序排序：5、10、15、20、25、30、50、55、60、65、75、80、85、90。

B+树的插入操作

B+树的插入必须保证插入后叶节点中的记录依然排序，同时需要考虑插入B+树的三种情况，每种情况都可能会导致不同的插入算法，如表5-1所示。 

我们用实例来分析B+树的插入，我们插入28这个键值，发现当前Leaf Page和Index Page都没有满，我们直接插入就可以了。

这次我们再插入一条70这个键值，这时原先的Leaf Page已经满了，但是Index Page还没有满，符合表5-1的第二种情况，这时插入Leaf Page后的情况为50、55、60、65、70。我们根据中间的值60拆分叶节点。

因为图片显示的关系，这次我没有能在各叶节点加上双向链表指针。最后我们来插入记录95，这时符合表5-1讨论的第三种情况，即Leaf Page和Index Page都满了，这时需要做两次拆分。

 

可以看到，不管怎么变化，B+树总是会保持平衡。但是为了保持平衡，对于新插入的键值可能需要做大量的拆分页（split）操作，而B+树主要用于磁盘，因此页的拆分意味着磁盘的操作，应该在可能的情况下尽量减少页的拆分。因此，B+树提供了旋转（rotation）的功能。

旋转发生在Leaf Page已经满了、但是其左右兄弟节点没有满的情况下。这时B+树并不会急于去做拆分页的操作，而是将记录移到所在页的兄弟节点上。通常情况下，左兄弟被首先检查用来做旋转操作，这时我们插入键值70，其实B+树并不会急于去拆分叶节点，而是做旋转，50，55，55旋转。

 

可以看到，采用旋转操作使B+树减少了一次页的拆分操作，而这时B+树的高度依然还是2。

B+树的删除操作

B+树使用填充因子（fill factor）来控制树的删除变化，50%是填充因子可设的最小值。B+树的删除操作同样必须保证删除后叶节点中的记录依然排序，同插入一样，B+树的删除操作同样需要考虑如表5-2所示的三种情况，与插入不同的是，删除根据填充因子的变化来衡量。 

首先，删除键值为70的这条记录，该记录符合表5-2讨论的第一种情况，删除后。

接着我们删除键值为25的记录，这也是表5-2讨论的第一种情况，但是该值还是Index Page中的值，因此在删除Leaf Page中25的值后，还应将25的右兄弟节点的28更新到Page Index中，最后可得到图。

最后我们来看删除键值为60的情况，删除Leaf Page中键值为60的记录后，填充因子小于50%，这时需要做合并操作，同样，在删除Index Page中相关记录后需要做Index Page的合并操作，最后得到图。