B树,B+树

B树

为什么要B树

磁盘中有两个机械运动的部分,分别是盘片旋转和磁臂移动。盘片旋转就是我们市面上所提到的多少转每分钟,而磁盘移动则是在盘片旋转到指定位置以后,移动磁臂后开始进行数据的读写。那么这就存在一个定位到磁盘中的块的过程,而定位是磁盘的存取中花费时间比较大的一块,毕竟机械运动花费的时候要远远大于电子运动的时间。当大规模数据存储到磁盘中的时候,显然定位是一个非常花费时间的过程,但是我们可以通过B树进行优化,提高磁盘读取时定位的效率。

为什么B类树可以进行优化呢?我们可以根据B类树的特点,构造一个多阶的B类树,然后在尽量多的在结点上存储相关的信息,保证层数尽量的少,以便后面我们可以更快的找到信息,磁盘的I/O操作也少一些,而且B类树是平衡树,每个结点到叶子结点的高度都是相同,这也保证了每个查询是稳定的。

简介

这里的B树,也就是英文中的B-Tree,一个 m 阶的B树满足以下条件:

  1. 每个结点至多拥有m棵子树;
  2. 根结点至少拥有两颗子树(存在子树的情况下);
  3. 除了根结点以外,其余每个分支结点至少拥有 m/2 棵子树;
  4. 所有的叶结点都在同一层上;
  5. 有 k 棵子树的分支结点则存在 k-1 个关键码,关键码按照递增次序进行排列;
  6. 关键字数量需要满足ceil(m/2)-1 <= n <= m-1;

举个栗子:

B树上大部分的操作所需要的磁盘存取次数和B树的高度是成正比的,在B树中可以检查多个子结点,由于在一棵树中检查任意一个结点都需要一次磁盘访问,所以B树避免了大量的磁盘访问。

操作

既然是树,那么必不可少的操作就是插入和删除,这也是B树和其它数据结构不同的地方,当然了,还有必不可少的搜索,分享一个对B树的操作进行可视化的网址,它是由usfca提供的。

假定对高度为h的m阶B树进行操作。

插入

新结点一般插在第h层,通过搜索找到对应的结点进行插入,那么根据即将插入的结点的数量又分为下面几种情况。

  • 如果该结点的关键字个数没有到达m-1个,那么直接插入即可;
  • 如果该结点的关键字个数已经到达了m-1个,那么根据B树的性质显然无法满足,需要将其进行分裂。分裂的规则是该结点分成两半,将中间的关键字进行提升,加入到父亲结点中,但是这又可能存在父亲结点也满员的情况,则不得不向上进行回溯,甚至是要对根结点进行分裂,那么整棵树都加了一层。

其过程如下:

删除

同样的,我们需要先通过搜索找到相应的值,存在则进行删除,需要考虑删除以后的情况,

  • 如果该结点拥有关键字数量仍然满足B树性质,则不做任何处理;
  • 如果该结点在删除关键字以后不满足B树的性质(关键字没有到达ceil(m/2)-1的数量),则需要向兄弟结点借关键字,这有分为兄弟结点的关键字数量是否足够的情况。
    • 如果兄弟结点的关键字足够借给该结点,则过程为将父亲结点的关键字下移,兄弟结点的关键字上移;
    • 如果兄弟结点的关键字在借出去以后也无法满足情况,即之前兄弟结点的关键字的数量为ceil(m/2)-1,借的一方的关键字数量为ceil(m/2)-2的情况,那么我们可以将该结点合并到兄弟结点中,合并之后的子结点数量少了一个,则需要将父亲结点的关键字下放,如果父亲结点不满足性质,则向上回溯;
  • 其余情况参照BST中的删除。

其过程如下:

B+树

为什么要B+树

由于B+树的数据都存储在叶子结点中,分支结点均为索引,方便扫库,只需要扫一遍叶子结点即可,但是B树因为其分支结点同样存储着数据,我们要找到具体的数据,需要进行一次中序遍历按序来扫,所以B+树更加适合在区间查询的情况,所以通常B+树用于数据库索引,而B树则常用于文件索引。(为什么B+树更适合做数据库索引)

简介

同样的,以一个m阶树为例:

  1. 根结点只有一个,分支数量范围为[2,m];
  2. 分支结点,每个结点包含分支数范围为[ceil(m/2), m];
  3. 分支结点的关键字数量等于其子分支的数量减一,关键字的数量范围为[ceil(m/2)-1, m-1],关键字顺序递增;
  4. 所有叶子结点都在同一层;

 

B+树和二叉树、平衡二叉树一样,都是经典的数据结构。B+树由B树和索引顺序访问方法(ISAM,是不是很熟悉?对,这也是MyISAM引擎最初参考的数据结构)演化而来,但是在实际使用过程中几乎已经没有使用B树的情况了。

B+树的定义十分复杂,因此只简要地介绍B+树:B+树是为磁盘或其他直接存取辅助设备而设计的一种平衡查找树,在B+树中,所有记录节点都是按键值的大小顺序存放在同一层的叶节点中,各叶节点指针进行连接。

我们先来看一个B+树,其高度为2,每页可存放4条记录,扇出(fan out)为5。

可以看出,所有记录都在叶节点中,并且是顺序存放的,如果我们从最左边的叶节点开始顺序遍历,可以得到所有键值的顺序排序:5、10、15、20、25、30、50、55、60、65、75、80、85、90。

B+树的插入操作

B+树的插入必须保证插入后叶节点中的记录依然排序,同时需要考虑插入B+树的三种情况,每种情况都可能会导致不同的插入算法,如表5-1所示。 

我们用实例来分析B+树的插入,我们插入28这个键值,发现当前Leaf Page和Index Page都没有满,我们直接插入就可以了。

这次我们再插入一条70这个键值,这时原先的Leaf Page已经满了,但是Index Page还没有满,符合表5-1的第二种情况,这时插入Leaf Page后的情况为50、55、60、65、70。我们根据中间的值60拆分叶节点。

因为图片显示的关系,这次我没有能在各叶节点加上双向链表指针。最后我们来插入记录95,这时符合表5-1讨论的第三种情况,即Leaf Page和Index Page都满了,这时需要做两次拆分。

 

可以看到,不管怎么变化,B+树总是会保持平衡。但是为了保持平衡,对于新插入的键值可能需要做大量的拆分页(split)操作,而B+树主要用于磁盘,因此页的拆分意味着磁盘的操作,应该在可能的情况下尽量减少页的拆分。因此,B+树提供了旋转(rotation)的功能。

旋转发生在Leaf Page已经满了、但是其左右兄弟节点没有满的情况下。这时B+树并不会急于去做拆分页的操作,而是将记录移到所在页的兄弟节点上。通常情况下,左兄弟被首先检查用来做旋转操作,这时我们插入键值70,其实B+树并不会急于去拆分叶节点,而是做旋转,50,55,55旋转。

 

可以看到,采用旋转操作使B+树减少了一次页的拆分操作,而这时B+树的高度依然还是2。

B+树的删除操作

B+树使用填充因子(fill factor)来控制树的删除变化,50%是填充因子可设的最小值。B+树的删除操作同样必须保证删除后叶节点中的记录依然排序,同插入一样,B+树的删除操作同样需要考虑如表5-2所示的三种情况,与插入不同的是,删除根据填充因子的变化来衡量。 

首先,删除键值为70的这条记录,该记录符合表5-2讨论的第一种情况,删除后。

接着我们删除键值为25的记录,这也是表5-2讨论的第一种情况,但是该值还是Index Page中的值,因此在删除Leaf Page中25的值后,还应将25的右兄弟节点的28更新到Page Index中,最后可得到图。

最后我们来看删除键值为60的情况,删除Leaf Page中键值为60的记录后,填充因子小于50%,这时需要做合并操作,同样,在删除Index Page中相关记录后需要做Index Page的合并操作,最后得到图。

 

posted @ 2018-03-21 15:14  ken007  阅读(1445)  评论(0编辑  收藏  举报