求最大子序列和——续章

在前面的文章中：http://blog.163.com/kevinlee_2010/blog/static/169820820201010495438247/

和http://blog.163.com/kevinlee_2010/blog/static/169820820201010410546547/

已经介绍了该问题的几种解法，其中有O(n^2)的，O(n*logn)和O(n)的，下面给出该算法的一个动态规划的解法，时间也是O(n)的，需要额外O(n)的空间代价。

出了原始数组a[n]之外，我们利用一个s[n]数组来记录以从a[1]开始，并以a[i] ( 0<= i <= n-1)结尾的最大子序列的长度，那么我们的问题就是找出s[n]中的最大值即可，为了得到最大和的子序列，我们需要一个p[n]数组来记录：p[i]表示以a[i]结尾的最大子序列和的前一个元素。p[n]初始化全为-1。

那么我们来描述问题的最优子结构：

                   1,s[i]=a[i]  如果i=0，或者0<i<n，并且s[i-1]<0

                   2, s[i] = s[i-1]+a[i]  如果0<i<n，并且s[i-1]>0，在这种情况下更新p[i]=i-1;

可执行C++程序如下：

//求一个数组的最大子序列和，以及对应的子序列，O(n)时间，O(n)空间

void largest_sum_sub(int *a,int size){

int *s=new int[size]();

int *p=new int[size]();

for(int i=0;i<size;i++){

p[i]=-1;

}

s[0]=a[0];

for(int i=1;i<size;i++){

if(s[i-1]>0){

s[i]=s[i-1]+a[i];

p[i]=i-1;

}else{

s[i]=a[i];

}

}

//求最大和

int max=INT_MIN;   //只是考虑到数组中有最大和为负数的情况而设置成整数能表示的最小值
int index=0;

for(int i=0;i<size;i++){

if(s[i]>max){

max=s[i];

index=i;

}

}

cout<<"最大子序列和为："<<s[index]<<"，对应的序列为:"<<endl;

//求子序列，倒序输出

for(int i=index;i!=-1;i=p[i]){

cout<<a[i]<<" "<<ends;

}

delete [] s;

delete [] p;

}

其实我们可以不用存储p[n]，我们在求出最大和和最大和所在的index(以a[index]结尾)后，直接从index开始往前递减，直到，max为0,那么这个连续的序列就是 最大和的子序列（只不过是倒序输出的）。 

这个题目起始还有更好的，空间复杂度为O(1)的算法：

//求一个数组的最大子序列和，以及对应的子序列,O(n)时间，O(1)空间

void imp_largest_sum_sub(int *a,int size){

int maxLen=0;  //记录最大子序列和的长度

int max=INT_MIN; //记录最大子序列的和，初始化为最小值

int max_beg=0; //最大子序列的起始位置

int max_end=0; //最大子序列的末尾位置

int beg=0; //缓存  记录当前最大子序列的起始位置

int sum=0;

for(int i=0;i<size;i++){

sum+=a[i];

if(sum>max){

max=sum;

max_beg=beg;

max_end=i;

}

if(max<0){

sum=0;

beg=i+1; //更新新的起始位置

}

}

cout<<"\n最大子序列和为:"<<max<<"最大子序列为:"<<ends;

for(int i=max_beg;i<=max_end;i++){

cout<<a[i]<<" "<<ends;

}

}