Dijkstra算法
单源最短路问题
给定一张 \(n\) 个点的有向图，边权均为正数。给定起点 \(st\) ，要求出 \(st\) 到其他所有点的最短路。
算法简介
\(\text{Dijkstra}\) 算法是典型的单源最短路径算法，朴素算法的时间复杂度为 \(O(n^2)\) ，加上堆优化后可以达到 \(O((n+m)\log n)\) 的时间复杂度，并且在实际应用中较为稳定，需要在各种题目中灵活应用！
算法流程
\(\text{Dijkstra}\) 算法的主要思想是贪心，但它只适用于不含负权边的图。
它的主要思想是：以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
- 初始化
设 \(d[i]\) 表示起点 \(st\) 到 \(i\) 点的最短距离，并把初始值为无穷大 \(+∞\) ， \(d[st]=0\) 。把点集 \(V\) 分成两部分：已经确定最短路的点集 \(S\) 与未确定最短路的点集。我们先将 \(S\) 初始化为空集。
- 具体过程
先找到一个不在 \(S\) 中 \(d\) 值最小的点 \(u\) ，然后将它加入到 \(S\) 中。
再扫描节点 \(u\) 所有出边 \((u,v,w)\) ，对所有 \(v\) 做一次松弛操作，即若 \(d[v]>d[u]+w\) ，则用 \(d[u]+w\) 更新\(d[v]\)。
重复上述步骤，直到所有节点被加入到 \(S\) 中。
正确性的简要证明
我们知道，当所有边长都是非负数的时候，全局最小值不可能再被其他节点更新。即在第 \(2\) 步中找出的 \(u\) 一定不会存在其它的点再来更新 \(d[u]\) 此时的 \(d[u]\) 已经是从起点到 \(u\) 的最短路径。我们不断选择确定为最小值的点进行标记和拓展，最终就可以得到起点到每个节点的最短路径。
朴素算法
void dijkstra()
{
bool vis[N];
memset(d,0x3f,sizeof d);
memset(vis,0,sizeof vis);
d[st]=0;
while(1)
{
int u=-1;
for(Re int i=1;i<=n;i++)
{
if(!vis[i]&&(u==-1||d[i]<d[u]))
{
u=i;
}
}
if(u==-1) break;
vis[u]=1;
for(Re int i=0;i<g[u].size();i++)
{
int to=g[u][i].id;
int Len=g[u][i].d;
if(d[to]>d[u]+Len)
{
d[to]=d[u]+Len;
}
}
}
}
算法优化
然而，我们发现该程序的时间复杂度虽然只有 \(O(n^2)\) ，但仍然无法满足大多数题目的要求。
于是，我们便考虑用一些操作来优化上述步骤。
优先队列 ( priority_queue )
这就是所谓的堆优化 \(\text{Dijkstra}\) ，是较为常用的优化方式。
我们考虑用堆对 \(d\) 数组进行维护，共进行的 \(n\) 次操作，每次用 \(O(\log n)\) 的时间取出堆顶元素并删除；共用 \(O(m\log n)\) 遍历每条边。故总时间复杂度为 \(O((n+m)\log n)\)。
struct Node {
int id,d;
bool operator < (const Node &a) const{
return d>a.d;
}
};
void dijkstra()
{
bool vis[N];
memset(d,0x3f,sizeof d);
memset(vis,0,sizeof vis);
d[st]=0;
priority_queue<Node> q;
q.push((Node){st,0});
while(!q.empty())
{
int u=q.top().id;
q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=1;
for(Re int i=0;i<g[u].size();i++)
{
int to=g[u][i].id;
int Len=g[u][i].d;
if(d[to]>d[u]+Len)
{
d[to]=d[u]+Len;
q.push((Node){to,d[to]});
}
}
}
}
但是上述代码需要事先写一个结构体，有没有办法可以避免呢？
于是我们考虑使用 \(\text{pair}\) 数组。
pair 数组
由于 \(\text{pair}\) 数组有自带的比较函数，因此，我们可以省去上述的结构体。
但是我们需要注意一点，就是在入队的时候需要加入的是 \(-d[v]\) 而不是 \(d[v]\) ！
void dijkstra()
{
bool vis[N];
memset(d,0x3f,sizeof d);
memset(vis,0,sizeof vis);
d[st]=0;
priority_queue<pair<int,int> > q;
q.push(make_pair(0,st));
while(!q.empty())
{
int u=q.top().second;
q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=1;
for(Re int i=0;i<g[u].size();i++)
{
int to=g[u][i].id;
int Len=g[u][i].d;
if(d[to]>d[u]+Len)
{
d[to]=d[u]+Len;
q.push(make_pair(-d[to],to));
}
}
}
}
