LCA 问题 + 模板
LCA
LCA 的问题是很经典的，我这一次就来讲解一下 LCA 的求法，就先从一道模板题入手吧
题目
输入格式
第一行包含三个正整数 \(N,M,S\) 分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来 \(N-1\) 行每行包含两个正整数 \(x, y\) 表示 \(x\) 结点和 \(y\) 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来 \(M\) 行每行包含两个正整数 \(a, b\) 表示询问 \(a\) 结点和 \(b\) 结点的最近公共祖先。
输出格式
输出包含 \(M\) 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。
说明/提示
对于 \(30\%\) 的数据，\(N\leq 10，N \leq 10\)。
对于 \(70\%\) 的数据，\(N\leq 10000，N \leq 10000\)。
对于 \(100\%\) 的数据，\(N\leq 500000 ， N \leq 500000\)
方法
LCA 的一些性质
- 两点的距离 ： $ d(u,v) = h(u) + h(v) + h(\operatorname{LCA}(u,v) )$ ，\(h\) 代表某一点的深度
- 两点的最近公共祖先必定处在树上两点间的最短路上；
朴素算法
首先，我们想到最暴力的方法，先把整个树 DFS 一下，顺便将每个点的深度记录下来，将要查找的两个点中每次找深度最大的点，然后向上跳一格，最后两个点一定会相遇，相遇的点就一定是他们的 LCA 。
下面是 DFS 的代码
void dfs(int u,int fa){ // fa 为父亲节点，u 为当前节点， dep 为节点深度
f[u] = fa;
dep[u] = dep[fa] + 1; // 因为是 DFS ，每个节点是从它的父亲来的，父亲与儿子的深度相差 1
for(int i=head[u];i;i = nex[i]){ // 链式前向星
int v = to[i];
if(v != fa)
dfs(v,u);
}
}
然后是 LCA 的核心代码 ：
while(x != y){
if(dep[x] >= dep[y]) x = f[x];
else y = f[y];
}
return x;
很简单
，就不详细讲了
， 预处理时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n)\) ， 单次查询时间复杂度为 \(\Theta(n \log n)\) （随机树上) ，时间有点慢，遇到大数据就不行了，我们需要优化
倍增 LCA
这里先来了解一下倍增（更容易理解），顾名思义，一倍一倍的增加，就比如一步一步跳 7 格，但是我们可以先跳 \(2^2= 4\) 次，再跳 \(2\) 次，最后跳 \(1\) 次，原本需要跳 7 次，通过倍增只需要跳 3 次。
这里可以倍增首先基于一个推论 ：
-
任意整数可以表示成若干个 2 的次幂项的和
\(eg. 7 = 2^2 + 2^1 + 2^0\)
\(10 = 2^3 + 2^1\)
下面来讲一下倍增 LCA :
显然可以将一步一步跳变成倍增，在 DFS 时可以通过 \(2^i = 2^{i-1}+2^{i-1}\) 预处理 \(fa_i\) 的位置。
在查询时可以从小到大倍增（\(2^0,2^1,2^2\dots\)）来将 \(u,v\) 跳到同一深度，在同时 跳的时候从大到小倍增（\(2^i,2^{i-1}\dots 2^1,2^0\)），如果两个父亲不一样，就跳，那么最后的 LCA 是 \(fa_0\)
倍增 LCA 预处理时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n \log n)\) ，单次查询时间为 \(\mathcal{O}(\log n)\) 。
这个时间复杂度大部分题目都是可以接受的。
代码：
void dfs(int u,int v){
dep[u] = dep[v] + 1;
fa[u][0] = v;
for(int i=1;i<=19;i++)
fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
for(unsigned int i=0;i<G[u].size();i++){
if(G[u][i] == v) continue;
dfs(G[u][i],u);
}
}
int LCA(int x,int y){
if(dep[x] > dep[y]) swap(x,y);
int tmp = dep[y] - dep[x];
for(int i=0;tmp;i++,tmp >>= 1)
if(tmp & 1)
y = fa[y][i];
if(x == y) return x;
for(int i=19;i>=0 && x != y;i--)
if(fa[x][i] != fa[y][i]){x = fa[x][i];y = fa[y][i];}
return fa[x][0];
}
