杨辉三角

杨辉三角

 

前言

　　关于杨辉三角，相信大家都很熟悉，忘记的同学请自行Wiki。下面引用一张 Wiki 上的图作为知识回顾。

上面这张图可以简要概括出以下几点：

1.每行数左右对称，且都是以1开始和结束的正整数。

2.行数递增的同时，列数也在递增。

3.两条斜边上的1除外，其它的元素值均由其上部两个数之和。

如何用编程的方式实现打印（下三角）

首先来看一下运行结果的截图：

如上图，这是一个以下三角（直角三角形）的形式打印出来的，观察上面这张图，很容易就会使人联想到用一个矩阵来存储所有的数值，打印的时候只打印下三角即可。

第1步：首先构建一个10x10的矩阵

第2步：观察发现列下标为0的元素都为1，且行列下标值相等的元素也都为1

第3步：其余元素均可由 array[i][j] = array[i-1][j] + array[i-1][j-1] 计算得到

开始编写代码：【C语言实现】

void PrintTriangle()
{
    int arr[10][10]={0};
    int i,j;
    for(i=0;i<10;i++)
    {
        for(j=0;j<=i;j++)
        {
            if(j==0 || i==j)
                arr[i][j]=1;
            else
                arr[i][j]=arr[i-1][j]+arr[i-1][j-1];
            printf("%-4d", arr[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

现在，我们固定了数组的大小。如果我们想拥有一个可以通过输入，选择打印行数的的方法，怎么办呢？把方法改为 PrintTriangle(int n) { int arr[n][n]={0}; ... } 不幸的是，这段代码在 C 中编译无法通过，因为 C 语言中数组定义要求的是一个常量表达式。

那么，我们换成 C# 来试试：

static void PrintTriangle(int n)
{
    int[,] arr = new int[n, n];
    int i, j;
    for (i = 0; i < arr.GetLength(0); i++)
    {
        for (j = 0; j <= i; j++)
        {
            if (j == 0 || i == j)
                arr[i, j] = 1;
            else
                arr[i, j] = arr[i - 1, j] + arr[i - 1, j - 1];
            Console.Write(arr[i, j].ToString().PadRight(3));
        }
        Console.WriteLine();
    }
}

令人欣慰的是 C# 没有编译错误，我们完全可以在 C# 中使用变量定义数组。为什么 C# 支持而 C 不支持呢？这个已经超出本文的主旨了，有兴趣的同学可以搜索相关资料。

现在，我们来思考另一个问题：我们只使用了一半的数组空间，而另一半却白白浪费掉了，实在可惜。有没有一种方式，可以让我们直接计算出相关元素的值，而无需用数组来做临时存储呢？为了阅读方便，我把上面的图贴在此处，仔细观察，是否可以用数学计算来表示每个元素的值。

现在以列作为单位来观察其中的规律，每次循环进来都会首先打印 1，那么，我们就可以在每次内层循环进入的时候打印出 1，解决第1列。

第2列参考循环中 i,j 值得变化，恰好 i-j 是第2列的值。

第3列，继续来验证并总结这个规律，想啊想，想啊想。数学没学好，是硬伤啊。。呵呵

 

你想到了吗？^_^  【C】

void PrintTriangle(int n)
{
    int num, i, j;

    for(i=0; i < n; i++)
    {
        num = 1;
        for(j=0; j <= i; j++)
        {
            printf("%-3d ", num);
            num = num * (i-j)/(j+1);
        }
        printf("\n");
    }
}

是的，重点就是这个：num = num * (i-j)/(j+1) 。

最后，我们来看另一种实现方式：

1

=======

1 1

   1 1

-----------

1  2  1

=======

1  2  1

    1  2  1

-------------

1 3   3   1

以此类推，我们只要在第2行开始，对 11 进行移位后相加运算就可以了。

看一段 Python 的实现：

 def triangle(n):
     row = [1]
     k = [0]
     for x in range(n):
         print row
         row = [l+r for l,r in zip(row+k, k+row)]