滤波器稳定性与极点

  在数字信号处理种,系统的稳定性是一个很重要的问题,比如说在滤波器的设计种,都要求系统必须稳定,否则是无法实用的。那么如何判断系统是否稳定呢?

  从定义上说,如果输入有界,则输出必定有界的系统是稳定的。从数学上可以推导出,因果系统冲击响应Z变换的收敛域包含单位元的系统是稳定的。从零点极点的角度,则是系统函数的所有极点都在单位元内的系统是稳定的。如何来理解呢?

  我们先以一个简单的单极点系统为例来理解系统的稳定性。比如有一个单极点系统:

  H(z)=1/(1-2z-1)

  表示的是如下的信号处理过程:系统当前输出是当前输出加上2陪的系统上一个时刻输出。这个系统是不稳定的,因为当前输出需要放大上一个时刻的输出,这也就是说,系统存在自激的过程,直观上我们就可以很好理解,自激系统是不稳定的。从分析极点的角度看,这个系统的极点为2,在单位圆外,与数学上的分析是一致的。极点在单位圆内的要求,对一阶极点而言,实际上就是直观上要求系统不能自激。

  对于高阶极点的情况,由代数知识可知,高阶极点可进行分式分解,也就是高阶极点可以分解为多个一阶极点并联(并联串联都可以构成高阶系统),在并联系统中,只要有一个系统不稳定,整个系统就是不稳定的。这与数学上要求的所有极点都在单位圆内是对应的。对于更一般的即包含零点又包含极点的系统,可以看成一个全零点系统和全极点系统串联而成,零点和系统的稳定性无关,分析和结论与高阶全极点系统完全一致。

  

 

posted @ 2020-01-17 11:13  kanite  阅读(1364)  评论(0编辑  收藏  举报