可并堆总结

在了解可并堆之前，我们先复习一下堆的相关知识。堆是一种数据结构，支持插入元素，查询最大值(大根堆)，查询最小值(小根堆)，删除最大值最小值，稍微改动以后也支持删除任意一个元素，但由于手动实现这样的二叉堆较为复杂，通常情况下我们用系统自带的PQ(priority_queue)来实现普通堆。

那么可并堆是什么呢？顾名思义，可并堆就是支持合并操作(merge)的一种堆。容易得知，当堆支持合并操作以后，插入元素和删除操作也就会变得十分简单。插入操作，把欲插入的元素当成是一个堆，那么插入操作便转化成了堆的合并操作。删除操作，只需要把根(root)与其左儿子右儿子的边断掉，然后把以左儿子和右儿子为根的两个堆合并，那么我们便从逻辑上把根节点的元素删除了。下面重点来讲解可并堆的实现：

左偏树是可并堆最好用也是最好写的实现方式。定义一个点的dis值为：从这个点一直沿着右儿子走，最多能够走多少步。记dis[0]=-1。那么dis[x]=dis[rson]+1。那左偏树的定义是什么呢？对于树上的任意一个点，均有 dis[lson]≥dis[rson] ，这样的树即为一棵左偏树。左偏树满足两个性质：

1.左偏树的任意一棵子树都是左偏树。

2.对于子数大小为n的点，它的dis值不超过log n。(也是可并堆时间复杂度的保证)

用左偏树来实现合并操作便简化了许多。

左偏树的合并是一个递归过程，对于以 x 和 y 为根的树：

如果 x 和 y 二者之一为空树，则返回另一棵。

如果 x 和 y 均不为空，则比较 x 和 y 的权值大小。如果 x 的权值较大，那么就把 x 右儿子和 y 合并的结果作为 x 新的右儿子，返回 x ；否则就把x和y交换，继续上面的操作。合并以后由于我们还要维护左偏性质，即：如果合并后右儿子的dis大于左儿子的dis，则交换左右儿子。这便是通过左偏树来实现可并堆的模拟过程。

代码实现：

int merge(int x,int y)
{
    if(!x) return y;
    if(!y) return x;
    if(v[x]<v[y]) swap(x,y);
    r[x]=merge(r[x],y);
    if(d[r[x]]>d[l[x]]) swap(l[x],r[x]);
    d[x]=d[r[x]]+1;
    return x;
}

其中v[]表示权值，dis[]定义与上文所述相同，l[]左儿子，r[]右儿子。

这样我们便实现了堆的合并操作。不难发现，掌握可并堆之后，普通堆便没有了存在的意义。可并堆的时间复杂度比较神奇，合并操作复杂度O(dis[x]+dix[y])，可近似看成O(log n)，但不能说可并堆时间复杂度为O(log n)，其最坏情况下可以退化到O(n)。