莫比乌斯反演

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这是蒟蒻对莫比乌斯反演及证明的一些见解

如有错误欢迎指出，不胜感激

反演：                                                                                                 

对于函数F和f，如果能通过已知F关于f的关系推出f关于F的关系，则称这个逆过程为反演

莫比乌斯反演：                                                                                   

    定义积性函数：                                                                                                                         

    $ f(1)=1$

    $ f(xy)=f(x)f(y) 当(x,y)=1$

 

   定义莫比乌斯函数 $ \mu$                                                                                                                 

    $ \mu(1)=1$

    $ \mu(x)={(-1)}^k 当x=p_1p_2...p_k$,其中p表示素数且两两互不相同

    $ \mu(x)=0$ other cases

 

    对于莫比乌斯函数$ \mu$有                                                                                                              

    $ \sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1&n==1\\0&n>1\end{cases}$

    证明：

    对于n=1时显然

    对于n≠1时将n展开变成$ {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_k}^{a_k}$

    基于$ \mu$的定义仅当所有素数的次数均为1时才有意义

    那么在显然有$ \sum\limits_{d|n}\mu(d)=C_k^0-C_k^1+C_k^2...+(-1)^kC_k^k$

    根据二项式定理，后式恰好等于(1-1)^k的展开式

    因而值为0，得证

 

引入公式1：                                                                                        

$ F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)=>f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$

证明：

恒等变形得

$\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{k|\frac{n}{d}}f(k)=\sum\limits_{k|n}f(k)\sum\limits_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)$

基于之前证明的定理$ \sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1&n==1\\0&n>1\end{cases}$

因而当且仅当$ n=k$时$ \sum\limits_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=1$否则为0

故$ \sum\limits_{k|n}f(k)\sum\limits_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=f(n)$得证

其实这个公式在莫比乌斯的相关题中出现不多，更多的是公式2

 

引入公式2：                                                                                        

$ F(n)=\sum\limits_{n|d}f(d)=>f(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$

证明：

令$ k=\frac{d}{n}$那么得到

$ \sum\limits_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)=\sum\limits^{+\infty}_{k=1}\mu(k)F(nk)=\sum\limits^{+\infty}_{k=1}\mu(k)\sum\limits_{nk|t}f(t)=\sum\limits_{n|t}f(t)\sum\limits_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)$

同理当且仅当$ t=n$时$ \sum\limits_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=1$

化简得$ \sum\limits_{n|t}f(t)\sum\limits_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=f(n)$得证