【学习笔记】【数论】欧拉函数&莫比乌斯函数及反演

一、欧拉函数

1.欧拉函数的定义

\(\phi(n)\) 表示从 \(1\) 到 \(n\) 所有与 \(n\) 互质的数的数量。表达式为：\(\sum\limits_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]\)。

2.欧拉函数的通解公式

\(\phi(n)=n\prod\limits_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p^i})\)（\(p_i\mid n\)，\(p_i\) 为素数，\(k\) 为小于等于 \(n\) 的素数的数量）

原理：\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\phi(p)\)，\(n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \cdots \times p_k^{a_k}\)。

3.欧拉定理

公式：$a^{\phi(m)}\equiv1\ (\bmod\ m) $

条件：\(a\perp m\)

另：欧拉定理的推广

由于 \(a^{\phi(m)}\equiv1\ (\bmod\ m)\) （欧拉定理，\(a\perp m\)），则：

\[\large a^b\equiv a^{b\bmod\phi(m)}\ (\bmod\ m) \]

4.欧拉反演公式

\(n=\sum\limits_{d\mid n}\phi(d)\)

二、莫比乌斯函数

1.莫比乌斯函数的定义

\(\mu(n)\) 的定义为：

\[\large\mu(n) =\left\{ \begin{aligned} & 1 & n=1 \\ & (-1)^m & n=p_1p_2p_2\dots p_m，其中 p_i 为不同的素数 \\ & 0 & 其他 \end{aligned} \right. \]

4.欧拉反演公式

\([n=1]=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\)

证明：

若 \(n=1\) 则显然这个式子为 \(0\)。而若 \(n\) 有两个相同质因子就是 \(0\)，不用管，那就有一个等式：

\[\large \sum\limits_{d\mid n}\mu(d) = \sum\limits_{p=1}^q(-1)^qC^q_p \]

显然牛顿二项式定理求出此式为 \(0\)。