重看算法 -- 动态规划 最大子段和问题
问题描述：
给定长度为n的整数序列，a[1...n], 求[1,n]某个子区间[i , j]使得a[i]+…+a[j]和最大，或者求出最大的这个和。如果该序列的所有元素都是负整数时定义其最大子段和为0。
例如(-2,11,-4,13,-5,2)的最大子段和为20,所求子区间为[2,4]。
问题分析：
最直接的想法就是利用遍历法遍历所有的可能，然后找到最大的那个，显然这不是一种有效的方法，但切实可行。在第二章的时候学习了分治方法，想到也可以把序列拆分成两部分，答案就在前半段或者后半段或者是穿过两段中间的部分。
暴力遍历法：
就是找到所有可能的结果然后再判断找到符合要求的那一个。首先我们需要一个循环来遍历从第一个位置到最后一个位置：for(int i = 0;i < n; i++)，然后还需要一个内层循环来遍历从当前位置到最后一个位置，来分别计算当前的最大子段和：
1 int maxSum(int n, int[] a, int besti, int bestj) { 2 int sum = 0; 3 for (int i = 1; i <= n; i++) { 4 int thissum = 0; 5 6 for (int j = i; j <= n; j++) { 7 thissum += a[j - 1]; 8 if (thissum > sum) { 9 sum = thissum; 10 besti = i; 11 bestj = j; 12 } // end if 13 } // end inner for 14 15 } // end out for 16 17 return sum; 18 } // end maxSum
很明显该算法的计算时间是O(n²)。
分治法：
针对最大字段和这个具体问题本身的结构，还可以从算法设计的策略上对上述O(n²)计算时间算法加以更深刻的改进。
如果将给定的序列a[1..n]分成长度相等的两段a[1..n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大字段和。则该给定序列的最大字段和有三种情行：
- ①和a[1..n/2]的最大字段和相同。
- ②和a[n/2+1:n]的最大字段和相同。
- ③最大字段和包含两部分，一部分在a[1..n/2]中，另一部分在a[n/2+1..n]中。
前两种情形我们可以用递归方法求出，第三种情形可以分别求出两部分的最大字段和值再相加（注：a[1..n/2]这部分求最大字段和要以a[n/2]结束，a[n/2+1..n] 这部分求最大字段和要以a[n/2+1]开始）。序列的最大字段和即为这三种情形的最大值
1 static int maxSubSum(int[] a, int left, int right) { 2 int sum = 0; 3 if (left == right) { 4 sum = a[left - 1] > 0 ? a[left - 1] : 0; 5 } else { 6 int center = (left + right) / 2; 7 int leftSum = maxSubSum(a, left, center); 8 int rightSum = maxSubSum(a, center + 1, right); 9 10 int s1 = 0; 11 int lefts = 0; 12 for (int i = center; i >= left; i--) { 13 lefts += a[i - 1]; 14 if (lefts > s1) s1 = lefts; 15 } 16 17 int s2 = 0; 18 int rights = 0; 19 for (int i = center + 1; i <= right; i++) { 20 rights += a[i - 1]; 21 if (rights > s2) s2 = rights; 22 } 23 24 sum = s1 + s2; 25 if(sum < leftSum) sum = leftSum; 26 if(sum < rightSum) sum = rightSum; 27 } // end if 28 29 return sum; 30 } // end maxSubSum
该算法的计算时间为O(nlogn)。
动态规划算法：
如果我们定义一个b[j]表示到当前位置为止，最大的字段和，那么事情就会变得更加简单：
1 static int maxSum(int n, int[] a) { 2 int sum = 0, b = 0; 3 for (int i = 1; i <= n; i++) { 4 if (b > 0) b += a[i - 1]; 5 else b = a[i - 1]; 6 if (b > sum) sum = b; 7 } 8 9 return sum; 10 }
该算法的计算时间需要O(n)。
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