CF797E Array Queries 题解

Problem - E - Codeforces

题意

给定一个大小为 \(n (1 \le n \le 10^5)\) 的数组 \(a\)，其中任意元素不大于 \(n\)。
有 \(q\) 个询问，每个询问包含俩整数，\(p, k (1 \le p, k \le n)\)，每次询问包含若干操作：将 \(p\) 变为 \(p + a_p + k\)，求在本次询问中，需要多少次操作才能使得 \(p > n\)。

我模拟了十几分钟没看懂样例，结果发现题读错了。

• 原题面

a is an array of n positive integers, all of which are not greater than n.

You have to process q queries to this array. Each query is represented by two numbers p and k. Several operations are performed in each query; each operation changes p to p + a__p + k. There operations are applied until p becomes greater than n. The answer to the query is the number of performed operations.

分析

首先想到朴素的方法就是对于每一个询问依次模拟，但是 \(10^5\) 的数据，显然会超时。可以发现到，询问是可以通过 DP 预处理的，在预处理之后，每次询问可以做到 \(O(n)\)。令 \(f[p][k]\) 表示询问为 \((p, k)\) 时的答案，则转移方程如下：

\[\begin{aligned} f[p][k] &= 1 \: (p + a_p + k > n) \\ f[p][k] &= f[p + a_p + k][k] + 1 \: (p + a_p + k \le n) \end{aligned} \]

转移时 \(p\) 显然应当从大到小，因为 \(p + a_p + k\) 必然大于 \(p\)，而 \(f[p][k]\) 可由 \(f[p + a_p + k][k]\) 转移而来。

说了半天还不是解决不了问题，你看 \(p,k\) 取值范围都多大了？

没错，纯 DP 确实解决不了问题，但是这正是本题的精妙之处。注意上面的公式 \(p = p + a_p + k\)，按照这个式子，\(p\) 的每次操作都至少会增加 \(k\)，那么 \(k\) 大了之后的增长会很快，因此如果 \(k\) 比较大的时候可以直接模拟，而 \(k\) 比较小的时候，则通过 DP 预处理，询问时直接输出答案即可。

我们将 \(k \le 300\) 的情况都给 DP 预处理出来，而大于 \(300\) 的部分则直接按公式模拟。结合题目所给出的数据范围，复杂度可以认为是 \(O(n \sqrt n)\)，可以通过此题。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 5;
int n, q;
int arr[maxn];
int f[maxn][305];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = 1; j <= 300; j++) {
            if (i + arr[i] + j > n) f[i][j] = 1;
            else f[i][j] = f[i + arr[i] + j][j] + 1;
        }
    }
    scanf("%d", &q);
    while (q--) {
        int p, k;
        int ans = 0;
        scanf("%d%d", &p, &k);
        if (k <= 300) {
            printf("%d\n", f[p][k]);
            continue;
        }
        while (p <= n) {
            p = p + arr[p] + k;
            ans++;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}