美好的一天从抱灵开始~

0.闲扯

pyyz 的服务比什么 bct 好多了好吧……
开题一看，发现 lxl 完美踩到了我的知识漏洞，于是开始颓
下午一看成绩果然抱灵了，我是傻逼。
电脑出了各种各样的锅，咱又对网络什么的不了解，于是直接换了机子。

1.题解

A

给定一个 01 串，求长度最短的未出现的串。
hyl 场切了，大家一起来 \(\%\) 她！
其实是傻逼题，但是考场手贱开了 T2 没时间写了。
可以猜/证一个结论：答案长度不超过 \(\log n+1\)。
我们显然可以线性找出长为 \(\log n+1\) 的子串的 \(\text{mex}\)。
然后我们可以通过不断除以二得到所有长度减一的子串。
每次值域会减半，加上 \(\text{mex}\) 的线性还是线性的。

B

洛谷 P6106。
贡献可减，我们先拆成前缀矩形。
先考虑斜率正的线段，发现只有几种情况：
1.完全包含，二维偏序求解；
2.与边界相交（先只考虑右边界），由于所有线段不交，拿一条扫描线从左往右扫到的线段相对顺序不变。我们用一种导数的思想求出扫描线向右一个单位长度扫过的线段长，然后我们就可以求出矩形内的长度了。

C

给出一棵树，每次查询给出一些点，求它们的虚树上边权两两相等的对数。
\(k\) 个点确定的虚树可以表示成 \(O(k)\) 条链，我们直接莽两两链之间的询问，发现可以做一个前缀和拆成到根路径的贡献再莫队。
\(k\) 很大怎么办？可以暴力 \(O(n)\) 统计每条边是否在虚树上。
两个算法平衡一下。

2.DS 选讲

1

给定一个序列，询问一个区间里有多少子区间色数为奇数。
考虑扫描线维护。扫区间右端点 \(r\)，设 \(r\) 的前一个相同颜色位置为 \(i\)，则右端点会对 \((i,r]\) 造成贡献。
维护区间异或和，问题转化为区间异或一和查询区间历史和。

2

洛谷 P7447。
用一种奇怪的倍增值域分块方式，\([2^k,2^{k+1})\) 为一块。
对于区间 \(-x\) 操作，若 \(x<2^k\) 则整块 \(-x\)，若 \(x\ge2^{k+1}\) 则不需要修改，否则需要修改一个后缀。
对于每块建一个线段树维护区间最小值，二分一个 \(-x\) 后“掉落” 到下一个值域块的数，再维护区间最大值，修改时减去 \(x\)。

3

BZOJ 3489。
可持久化树套堆？？？
算出前驱后继，有贡献的区间很好算。
接下来好像涉及到了奇怪的科技，不懂，后补。

4

UOJ 207。

火车司机出秦川，跳蚤国王下江南，共价大爷游长沙。

设询问 \((u,v)\)，不妨设 \(v\) 较深。那么容易发现有答案等价于所有链恰有一端在 \(v\) 的子树内。
这个东西一看是什么玩意啊（躺平），于是采用一些投机取巧的方式比如哈希。
对每个路径随机一个非常大的权值，如果子树异或和等于所有路径权值的异或和，那么可以认为是合法的。
而 LCT 维护子树是很简单的，于是我们做完了。