数学知识集合

1. 欧拉函数

1. p 为n的质因子

\[\varphi(n)=n \times \Pi(1-\frac{1}{p}) \]

2. 1~n中与n互质的数的和:\(\frac{n}{2}\times \varphi(n)\)
3. 如果a,b互质,那么\(\varphi(ab)=\varphi(a)\times\varphi(b)\)
4. 与n所有约数互质的个数的和为n

\[\sum_{d|N}\varphi(d)=n \]

2. 同余

同余方程第后一项可以理解为余数的具体数

同余的一些基本性质

\[ak \equiv bk(mod\ pk)\ (mod\ p) \]

1. 费马小定理 p为质数

\[a^{p-1} \equiv 1(mod\ p) \]

\[a^p \equiv a(mod \ p) \]

2. 欧拉定理 a,n 互质时:

\[a^{\varphi(n)}\equiv1(mod \ n) \]

​ 对任意整数b, a,n互质

\[a^b \equiv a^{b\ mod\ \varphi(n) }(mod \ n) \]

​ a,n不互质且\(b>\varphi(n)\)

\[a^b \equiv a^{b\ mod\ \varphi(n)+\varphi(n)}(mod\ n) \]

3. 裴蜀定理 gcd(a,b)=gac(b,a%b)

\[bx+(a- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)y=gcd(a,b) \]

\[ay+b(x- \lfloor\frac{a}b \rfloor y)=gcd(a,b) \]

4. 乘法逆元

   a. 一般求乘法逆元: 扩展欧几里得算法

   b. 如果模数为质数 那么逆元为\(b^{p-2}\)

   c. 线性递推:

   \[i\times \lfloor \frac{p}i\rfloor +p\%i \equiv 0 (mod\ p) \]
   \[\lfloor \frac{p}i\rfloor (p\%i)^{-1}+i^{-1} \equiv 0(mod\ p) \]

   ​ 移项后 把逆元加成正的

   ​ 特殊的: inv[1]=1;

   ​ 注意乘法开longlong