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洛谷P1593 因子和 & POJ1845 Sumdiv

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首先,我们知道,任意一个大于 \(1\) 的正整数 \(a\) 都可以表示为下面的形式(\(\prod\) 是连乘符号,与 \(\sum\) 类似):

\[a=\prod_{i=1}^m p_i^{c_i}\left(c_i\in\mathbb{Z^+}\right) \]

其中 \(p_i\) 为互不相同的质数,满足 \(p_1<p_2<\cdots<p_m\),也就是 \(a\) 的质因数,\(m\)\(a\) 的质因数个数。

这也就是小学奥数里学的质因数分解。

现在我们已经知道了 \(a\) 的质因数分解,那么 \(a\) 的因子和为:

\[\left(p_1^0+p_1^1+p_1^2+\cdots+p_1^{c_1}\right)\left(p_2^0+p_2^1+p_2^2+\cdots+p_2^{c_2}\right)\cdots\left(p_m^0+p_m^1+p_m^2+\cdots+p_m^{c_m}\right) \]

也就是:

\[\prod_{i=1}^m \sum_{j=0}^{c_i} p_i^j \]

接下来我们来讨论 \(a^b\) 的因子和。

根据初中所学知识 \(\forall s \in\mathbb Z,\;(xy)^s=x^sy^s\),我们可以得出:

\[\begin{align*} a^b &=\left(\prod_{i=1}^m p_i^{c_i}\right)^b\\ &=\prod_{i=1}^m p_i^{bc_i}\end{align*} \]

它的因子和为:

\[\prod_{i=1}^m \sum_{j=0}^{bc_i} p_i^j \]

上面一长串式子,如果暴力求的话,复杂度明显会爆炸。如果测评机是太湖之光当我没说

所以我们考虑优化它。

来看后面这个 \(\sum\)

不难观察出,这是一个等比数列。根据等比数列的求和公式,我们可以得出:

\[\sum_{j=0}^{bc_i} p_i^j=\frac{p_i^{bc_i+1}-1}{p_i-1} \]

\(p_i^{bc_i+1}-1\) 可以用快速幂,因为这道题要取模,所以需要搞一下 \(p_i-1\) 的逆元。

code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=5e7+10;
const int MOD=9901;
int qpow(int a,int n,int m)
{
	int base=a%m,ans=1;
	while(n)
	{
		if(n&1) ans=(ans*base)%m;
		base=(base*base)%m;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int a[N],c[N],n,b,cnt=0;
void init()
{
	int i=2;
	while(n>1)
	{
		if(!(n%i))
		{
			n/=i;
			a[++cnt]=i;
			c[cnt]=1;
			while(!(n%i))
			{
				n/=i;
				c[cnt]++;
			}
		}
		i++;
		if(i*i>n) break;
	}
	if(n>1) 
	{
		a[++cnt]=n;
		c[cnt]++;
	}
}
int inv(int s,int p) {return qpow(s,p-2,p);}
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&b);
	init();
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		int z=c[i]*b+1;//指数
		int in=inv(a[i]-1,MOD);//inv(a-1)
		int s=(qpow(a[i],z,MOD)-1+MOD)%MOD;
		s=(s*in)%MOD;
		ans=(ans*s)%MOD;
	}
	printf("%d",ans);
}

然后你就得到了 88pts 的好成绩。

问题出在哪呢?

问题就在 \(9901\) 这个模数太小了,\(p_i-1\) 有可能是它的倍数,\(p_i-1\) 就没有关于 \(9901\) 的逆元。此时,就会出一些奇奇怪怪的锅,比如逆元搞出来 \(0\) 什么的,所以我们需要对这种情况进行特判。

不难得出,当 \(p_i-1\bmod 9901=0\) 时,\(p_i\bmod 9901=1\)

此时,我们可以推算出:

\[\begin{align*}\left(\sum_{j=0}^{bc_i} p_i^j\right)\bmod 9901 &=\left(\sum_{j=0}^{bc_i} \left(p_i^j\bmod 9901\right)\right)\bmod 9901\\&=\left(\sum_{j=0}^{bc_i} 1\right)\bmod 9901\\&=\left(bc_i+1\right)\bmod 9901\end{align*} \]

在特判的时候把 \(\left(bc_i+1\right)\bmod 9901\) 搞进去就可以啦。

AC code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=5e7+10;
const int MOD=9901;
int qpow(int a,int n,int m)
{
	int base=a%m,ans=1;
	while(n)
	{
		if(n&1) ans=(ans*base)%m;
		base=(base*base)%m;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int a[N],c[N],n,b,cnt=0;
void init()
{
	int i=2;
	while(n>1)
	{
		if(!(n%i))
		{
			n/=i;
			a[++cnt]=i;
			c[cnt]=1;
			while(!(n%i))
			{
				n/=i;
				c[cnt]++;
			}
		}
		i++;
		if(i*i>n) break;
	}
	if(n>1) 
	{
		a[++cnt]=n;
		c[cnt]++;
	}
}
int inv(int s,int p) {return qpow(s,p-2,p);}
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&b);
	init();
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		if((a[i]-1)%MOD)
		{ 
			int z=c[i]*b+1;//指数
			int in=inv(a[i]-1,MOD);//inv(a-1)
			int s=(qpow(a[i],z,MOD)-1+MOD)%MOD;
			s=(s*in)%MOD;
			ans=(ans*s)%MOD;
		}
		else ans=ans*(b%MOD*c[i]+1)%MOD;
	}
	printf("%d",ans);
}

测评信息:

posted @ 2020-05-15 09:47  zzt1208  阅读(116)  评论(0编辑  收藏