组合数

计算组合数的几种方法

前置知识 费马小定理(求乘法逆元)

\[a^{p-1}\equiv 1 (mod p) \]

若\(x\)为逆元 \(\frac{a}{b} \equiv a \times x (mod p)\)

可以得到\(\Longrightarrow x = b^{p-2}\)

第一种 暴力

根据定义

\[C_a^b = \frac{a\times (a-1) \times (a-2) \times ... \times (a-b+1)}{1 \times 2 \times 3 \times ... \times b} \]

在 \(a < 60\) 的时候可以直接用 \(long long\) 暴力循环求。

long long C(int a, int b)
{
    long long res = 1;
    for (int i=1,j=a;i<=b;i++,j--)
    {
        res = res * j / i;
    }
    return res;
}

第二种 递推公式

给定 \(n\) 组询问，每组询问给定两个整数 \(a\)，\(b\)，请你输出 \(C_a^b\mod(10^9+7)\) 的值。

数据范围
\(1≤n≤10000\)
\(1≤b≤a≤2000\)

不难发现，\(a\) 和 \(b\) 的范围不大，所有的组合有 \(a \times b\) 共\(4\times10^6\) 种，将所有情况预处理出来，对每次查询\(O(1)\)，可以在规定时间内通过。
利用递推公式：

\[C_a^b = C_{a-1}^b + C_{a-1}^{b-1} \]

for (int i=0;i<N;i++)
{
    for (int j=0;j<=i;j++)
    {
        if (j == 0) c[i][j] = 1;
        else c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1];
    }
}

第三种 快速幂

给定 \(n\) 组询问，每组询问给定两个整数 \(a\)，\(b\)，请你输出 \(C_a^b\mod(10^9+7)\) 的值。

数据范围
\(1≤n≤10000\)
\(1≤b≤a≤10^5\)

相比于第一种，第二种的 \(a\) 与 \(b\) 扩大了范围。这时可以用组合数的定义式直接求，但要用到快速幂算法求逆元。

\[C_{a}^{b} \mod p= \frac{a!}{b!\times(a-b)!} \mod p \]

\[C_{a}^{b} \mod p= a! \times (b!)^{-1} \times ((a-b)!)^{-1} \mod p \]

在计算阶乘的时候，可以进行预处理，阶乘的逆元同理。

LL quickPower(LL a,LL b,LL m)
{
    LL res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) res *= a;
        res %= m;
        b >>= 1;
        a *= a;
        a %= m;
    }
    return res;
}

fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i=1;i<N;i++)
{
    fact[i] = fact[i-1] * i % mod;
    infact[i] = infact[i-1] * quickPower(i, mod-2, mod) % mod;
}

逆元阶乘可以直接相乘，是不是说 \(a\) 的逆元乘上 \(b\) 的逆元就是 \(a\times b\) 的逆元？

是的，如果 \(x\) 是 \(a\) 的逆元，\(y\) 是 \(b\) 的逆元，那么 \(ax≡1\),\(by≡1\)所以 \(abxy≡1\)，所以 \(xy\) 是 \(ab\) 的逆元。

第四种 \(Lucas\) 定理

\[Lucas定理 \]

\[C_{a}^{b}\mod{p} = C_{a \mod{p}}^{b \mod{p}} \times C_{a \div p}^{b \div p} % p \]

给定 \(n\) 组询问，每组询问给定三个整数 \(a,b,p\)，其中 \(p\) 是质数，请你输出 \(C_a^b\mod p\) 的值。

数据范围
\(1≤n≤20\)
\(1≤b≤a≤10^{18}\)
\(1≤p≤10^5\)

在这种情况，测试数据组数比较小，但是 \(a\) 和 \(b\) 的范围很大，这时要用到 \(Lucas\) 定理。

LL qmi(LL a, LL k) //快速幂
{
    LL res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res *= a;
        res %= p;
        k >>= 1;
        a *= a;
        a %= p;
    }
    return res;
}

LL C(LL a,LL b) //定义求组合数
{
    LL res = 1;
    for (LL i=1, j=a;i<=b;i++,j--)
    {
        res = res * j % p;
        res = res * qmi(i, p-2) % p;
    }
    return res;
}

LL lucas(LL a, LL b) //Lucas定理
{
    if (a < p) return C(a,b);
    return C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
}

例题：

• 快速幂求逆元
• 求组合数 I
• 求组合数 II
• 求组合数 III
• 求组合数 IV