雷达坐标系

1 坐标系的旋转变换

例子：原三维坐标系O1中，有一条射线方位角为60度(即射线向x-y平面投影后与x轴的夹角)，俯仰角为-30度(即射线与x-y平面的夹角)，现在以射线方向为x轴构建新的三维坐标系O2、以射线方向为y轴构建新的三维坐标系O3、以射线方向为z轴构建新的三维坐标系O4，请问原三维坐标系O1旋转为新三维坐标系O2、O3、O4的旋转矩阵如何计算？

【O1转换为O2】
要将原三维坐标系O1旋转到新坐标系O2，其中O2的x轴方向由方位角60度和俯仰角-30度确定，旋转矩阵的计算步骤如下：

1. 确定新x轴方向：

根据方位角\(θ=60°\)和俯仰角\(φ=-30°\)，计算新\(\mathbf{x}\)轴单位向量在O1中的坐标：

\[\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} \cos\theta \cos\phi \\ \sin\theta \cos\phi \\ \sin\phi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos60^\circ \cos(-30^\circ) \\ \sin60^\circ \cos(-30^\circ) \\ \sin(-30^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

2. 构造新y轴和z轴：

\(\mathbf{y}\)轴：通过原\(\mathbf{z}\)轴与\(\mathbf{x}_2\)叉乘并归一化：

\[\mathbf{y}_2 = \frac{\mathbf{z}_1 \times \mathbf{x}_2}{\|\mathbf{z}_1 \times \mathbf{x}_2\|} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \]

\(\mathbf{z}\)轴：通过\(\mathbf{x}_2\)与\(\mathbf{y}_2\)叉乘：

\[\mathbf{z}_2 = \mathbf{x}_2 \times \mathbf{y}_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \]

3. 组合旋转矩阵：

将三个正交单位向量作为列向量，得到旋转矩阵：

\[R_{O1 \to O2} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{4} \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \]

【O1转换为O3】
要将原三维坐标系O1旋转到新坐标系O3，其中O3的y轴方向由方位角60度和俯仰角-30度确定，旋转矩阵的计算步骤如下：

1. 确定射线方向在O1中的坐标

给定方位角\(θ=60°\)，俯仰角\(φ=-30°\)，射线方向向量在O1中的坐标为：

\[\mathbf{v} = \begin{bmatrix} \cos60^\circ \cos(-30^\circ) \\ \sin60^\circ \cos(-30^\circ) \\ \sin(-30^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

2. 构建O3坐标系（射线作为y轴）

新y轴：

\[\mathbf{y}_3 = \mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

新x轴：选择原坐标系O1的z轴（\((\mathbf{z}_1 = [0, 0, 1]^\top\)）与\(\mathbf{y}_3\)叉乘，归一化后得到：

\[\mathbf{x}_3 = \frac{\mathbf{z}_1 \times \mathbf{y}_3}{\|\mathbf{z}_1 \times \mathbf{y}_3\|} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \]

新z轴：通过\(\mathbf{y}_3 \times \mathbf{x}_2\)计算：

\[\mathbf{z}_3 = \mathbf{y}_3 \times \mathbf{x}_3 = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \]

3. 旋转矩阵\(R_{O1 \to O3}\)：将\(\mathbf{x}_3, \mathbf{y}_3, \mathbf{z}_3\)作为列向量：

\[R_{O1 \to O3} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \]

【O1转换为O4】

1. 构建O4坐标系（射线作为z轴）

新z轴：

\[\mathbf{z}_4 = \mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

新x轴：选择原坐标系O1的z轴（\(\mathbf{z}_1 = [0, 0, 1]^\top\)）与\(\mathbf{z}_4\)叉乘，归一化后得到：

\[ \mathbf{x}_4 = \frac{\mathbf{z}_1 \times \mathbf{z}_4}{\|\mathbf{z}_1 \times \mathbf{z}_4\|} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \]

新y轴：通过\(\mathbf{z}_4 \times \mathbf{x}_4\)计算：

\[\mathbf{y}_4 = \mathbf{z}_4 \times \mathbf{x}_4 = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \]

旋转矩阵\(R_{O1 \to O4}\)：将\(\mathbf{x}_4, \mathbf{y}_4, \mathbf{z}_4\)作为列向量：

\[R_{O1 \to O4} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{3}{4} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]