理论力学小总结

静力学

以受力物体静止为前提, 分析物体内受力情况.

静力学基础

• 刚体, 在任意情况下都不会改变形状的物体, 其意味着力会在刚体内部迅速的传递. 同时也意味着我们可以把刚体等效成可以旋转的质点.
• 力, 一种矢量, 遵从矢量的运算法则, 物体运动状态保持不变的充要条件为外力平衡.
• 约束力, 物体在某些环境下其运动会受到约束, 而作用效果是约束物体运动的力称为约束力. 约束力大多是一种被动力, 通常在物体的其他受力得到确认后才能求解约束力, 但在理想条件下约束力的大小无上限.
• 约束力类型
  • 柔索
  • 光滑接触面
  • 光滑圆柱铰链
  • 轴承
  • 链杆约束
  • 球铰链
• 力的可传性原理 : 力可沿其作用直线移动而保持其对刚体的作用效果不变.
• 小结论: 平衡物体在仅受两个作用力时, 两个作用力一定等大反向共线; 平衡物体在仅受三个作用力时, 三力所在直线一定过同一点.

平面力系

• 平面中力对平面内点的矩,

  力对物体的作用既可以产生移动效果, 也可以产生转动效果, 而力使物体绕某点转动效果, 我们用力对某点的矩来衡量.

  \[m_O(\vec{F}) = \vec{r_{OF}} \times \vec{F} \]

  三维空间下叉乘有意义, 二维空间只用于表征正负(逆时针为正, 顺时针为负)

• 力偶, 一对大小相等, 作用方向相反, 但不共线的力称为一对力偶, 可以证明一对力偶对刚体的作用效果无法被非力偶代替. 同时力偶可在平面内任意移动, 旋转. 其对平面内任意不在力的作用直线上的一点的作用效果相等, 且有如下计算式, 其中d是这一对力所在直线的距离, 称为力偶臂.

  \[m = \pm Fd \]

• 通过力的可传性原理, 以及构造等效力和力偶(在目标位置产生一对等大反向且与当前力平行的力, 其中一个力用于和当前力形成力偶, 而另一个为我们转移后的力), 我们可以把平面内所有力向某一点合并, 成为过该点的一个力和对该点的一个力偶, 具体合成方式看书.可以发现的是, 对于不同点, 合成的力偶可能是不同的, 但合成的力相同.

  • \(F_{合}=0,m_{O}=0\) 说明当前力系是平衡的, 合成不与选点相关.
  • \(F_{合}\neq0,m_{O}=0\) 合力不为零, 但主矩为零, 说明当前选点恰好使得主矩为零, 这种合成情况与选点相关.
  • \(F_{合}=0,m_{O}\neq0\) 说明原力系与一平面力偶等效, 而因为主矢为零, 导致只有这种情况下合成不与选点相关.
  • \(F_{合}\neq0,m_{O}\neq0\) 这种情况下我们可以通过移动主矢而消除主矩, 也就是说原力系可以等效为单个合力

• 在已知刚体运动状态不变的情况下, 我们可以列出如下方程.

  \[\begin{cases} \; \sum{F_{ix}} = 0\\ \; \sum{F_{iy}} = 0\\ \; \sum{m_O(\vec{F_i})} = 0\\ \end{cases} \]

  当然我们也可以列二矩一矢 / 三矩式的平衡方程(三矩的情况要保证三个点不共线)

• 可以发现如果未知量小于等于方程数时我们可以唯一确定未知量的大小, 但这种情况并不适合实际应用, 因而工程上更多使用的是静不定系统.

• 桁架

空间力系

我们需要对以前的概念进行拓展:

• 空间中力对一点的矩

  通过定义式我们仍可以得到一个向量, 这个向量即矩矢, 矩矢也遵从矢量的运算法则, 其物理意义为, 物体在「以矩矢为法向量的平面」内旋转, 其中旋转方向与矩矢方向成右手定则(即四指为旋转方向, 大拇指垂直于四指地握拳, 此时大拇指指向为矩矢方向).

• 空间中力对一轴的矩

  我们假定为轴\(\vec{A}\) , 那么轴\(\vec{A}\)可以是许多平面的法向量, 不妨假定有一个平面为\(S\) , 那么我们可以想象这么一件事情, 力的作用效果的一部分为使刚体绕轴转动, 那么力在沿轴方向的分量是没有这个效果的, 我们需要的是力和轴垂直的那个分量, 进而我们可以, 把原本的力\(F\)投影到\(S\), 假定投影为\(F'\), 那么「力\(F\)对轴\(\vec{A}\)的矩」为「力\(F'\)在平面\(S\)上对(\(\vec{A}\)与\(S\)的交点)\(O'\)的矩」, 即有\(m_{\vec{A}}(\vec{F}) = m_{O'}(\vec{F'}) = \vec{r_{OF'}}\times \vec{F'}\)

• 事已至此可以发现: 力对一点的矩可以分解为对过该点的几个轴的矩, 也就是说, 力对轴的矩其实是力对轴上某一点的矩的分量.

• 空间力偶, 可以发现这一对力偶应该用一个矢量来表示了, 方向为上一条中的旋转方向, 大小为Fd, 称为力偶矩矢.

• 力/矩矢向空间坐标轴的分解, 太水了, 略.

• 约束力在空间中的表现:

  

由此进入空间力系的运算:

• 平衡方程

  \[\begin{cases} \; \sum{F_{ix}}=0 , \; \sum{F_{iy}}=0 , \; \sum{F_{iz}}=0 , \\ \; \sum{m_x(\vec{F_i})}=0 , \; \sum{m_y(\vec{F_i})}=0 , \; \sum{m_z(\vec{F_i})}=0 \end{cases} \]

• 物体的重心, 有 : (一般来说, 刚体内密度处处为1, 可以把密度约去. )

\[x_c = \frac{\int x \rho dV}{\int \rho dV} , \; y_c = \frac{\int y \rho dV}{\int \rho dV} , \; z_c = \frac{\int z \rho dV}{\int \rho dV} \]

动力学

饭要一口一口吃, 步要一步一步走, 走一步大了, 喀, 容易(

摩擦

大部分为高中知识, 需要注意的是静摩擦力类似于一种约束力, 而滑动摩擦的大小仅和正压力&静摩擦系数有关.

• 滚动摩擦

  由于物体与接触面实际接触情况与理想状态不同, 使得摩擦同时表现出一种抗转动的性质, 称为滚动摩阻力偶矩, 其与静摩擦力类似, 随正压力增大而增大, 在滚动发生时, 其达到最大值, 称为最大滚动摩阻力偶矩. 无论哪个都不与物体半径相关. 而有

  \[m_{smax} = \delta * F_N \]

  其中\(\delta\)为滚动摩阻系数, 可以由实验测定

  滚动时, 同时存在静摩擦力, 其一方面阻止滚子与地面接触点发生滑动, 另一方面与\(\vec{F}\)构成力偶, 促使轮子滚动; 而在又滑又硬的水平面上, \(m_{smax}\)大于最大静摩擦构成的力偶, 则无法发生滚动, 而产生纯滑动;

点的运动

在了解刚体之前, 可以先对问题做简化, 在不考虑刚体的转动后, 刚体变成点, 而研究点的各种行为.

点的简单运动

• 点的运动, 既可以在固定坐标系下用纯解析法表示点的位移, 速度, 加速度, 也可以把一个坐标系绑定在点上, 用自然法分析. 解析法不做阐述.

• 自然法, 考虑始终以点的瞬时速度方向为标准方向, 这时我们关注的点的位置变成了运动的路程, 点的速度始终为标准方向, 而点的加速度分为切向加速度\(\vec{a_{\tau}}=\frac{dv}{dt}*\vec{\tau}\), 其中\(\vec{\tau}\)表示切向方向, 法向加速度\(\vec{a_n}=\frac{v^2}{\rho}*\vec{n}\), 其中\(\vec{n}\)为法向方向(且指向当前弧的圆心), \(\rho\)表示曲率半径.

• 质点动力学就没什么好说的了, 高中知识. 加入了自然法分析而已.

  牛一: 惯性定律, 力是改变物体运动的原因.

  牛二: 定量地描述牛一, $ \vec{F} = m* \vec{a}$

  牛三: 作用与反作用力.

• 动量定理, $ \vec{I} = \vec{F}*t, \Delta\vec{P} = \vec{I}$ , 仍然是高中知识.

然后开始让问题变得复杂一些.

考虑到现实中很多点的运动轨迹是十分复杂的, 我们很难去描述点的行为, 但是一些点的运动是几个运动相组合形成的, 比如正在滚动的车轮上一点轨迹可以分为点相对于圆心的转动和车轮的平动, 因而考虑一个相对运动的转化是十分重要的.

因此提出点的复合运动, 即点在不同坐标系下运动的相互转化. 书上把动点相对动系的运动称为相对运动, 动点相对于定系的运动称为绝对运动, 动系相对于定系的运动叫牵连运动, 果然三角形关系是最稳定的, 但是我更喜欢理解成点在原系下的运动而求点在现系下的运动. 原系为\(C_{Org}\), 现系为\(C_{Now}\), 点在原系下的运动为\(\vec{V_O}\) (因为点不存在转动, 故这里只考虑平动), 原系可能在现系中为平动, 也可能为转动, 也可能为两者的结合, 这里一步一步说.

需要提前注意的是, 在以某一坐标系为参考时, 物体的运动只存在它相对于坐标系的运动和自己的转动, 或者说在以某一坐标系为参考时, 我们钦定这个坐标系是绝对静止的; 而在考虑换系时, 我们钦定了现系绝对静止而考虑原系在现系中的运动, 这个运动既包含了原系中原点的运动, 也包含了原系x, y轴上单位向量的变化(这个变化的宏观表现既转动).

• \(C_{Org}\)在\(C_{Now}\)中平动, 我们取如下标记:

  \(\vec{X_{CO}}, \vec{V_{CO}}, \vec{a_{CO}}\) : 原系在以现系为参考时的运动状态, (位移向量, 速度向量, 加速度向量)

  \(\vec{X_{O}}, \vec{V_{O}}, \vec{a_O}\) : 点在以原系为参考时的运动状态

  \(\vec{X_N} , \vec{V_N}, \vec{a_N}\) : 点在以现系为参考时的运动状态

  那么有

  \[\vec{X_N} = \vec{X_O} + \vec{X_{CO}} \\ \vec{V_N} = \vec{V_O} + \vec{V_{CO}} \\ \vec{a_N} = \vec{a_O} + \vec{a_{CO}} \]

  既在原系的运动只存在平动时, 运动状态可以单纯的把向量叠加.

• \(C_{Org}\)在\(C_{Now}\)中转动, 我们取如下标记:

  \(\vec{X_{CO}}, \vec{\omega_{CO}}, \vec{\beta_{CO}}\) : 原系在以现系为参考时的运动状态 (位移向量, 角速度向量, 角加速度向量)

  ​ tips: 因为\(\alpha\)和\(a\)太像了, 角加速度还是用\(\beta\)好一点

  ​ tips: 虽然在平面转动时角速度是标量, 但是为了后面矢量运算方便还是用向量好了.

  \(\vec{X_{O}}, \vec{V_{O}}, \vec{a_O}\) : 点在以原系为参考时的运动状态

  \(\vec{X_N} , \vec{V_N}, \vec{a_N}\) : 点在以现系为参考时的运动状态

  那么有

  \[\vec{X_N} = \vec{X_O} + \vec{X_{CO}} \\ \vec{V_N} = \vec{V_O} + \vec{\omega_{CO}} \times \vec{X_O} \\ \vec{a_N} = \vec{a_O} + \vec{\beta_{CO}} \times \vec{X_O} + \omega_{CO}^2*(-\vec{X_O}) + 2*\vec{\omega_{CO}} \times \vec{V_O} \]

  加速度方面有点复杂, 我们拆开来看,

  首先是第一项 \(\vec{a_O}\), 即点原本的加速度.

  然后是第二, 三项\(\vec{\beta_{CO}} \times \vec{X_O} + \omega_{CO}^2*(-\vec{X_O})\) , 可以发现这是只因为原系转动所产生加速度(原系中随便哪个点都会有), 第二项为角加速度引起的加速度, 第三项为向心加速度, 我们也可以把这两项合称\(\vec{a_{CO}}\), 并起\(\vec{a_{CO}^{\tau}}\) 为角加速度引起的,切向方向的加速度, \(\vec{a_{CO}^{n}}\)为向心加速度, 为法向方向. \(\vec{a_{CO}}=\vec{a_{CO}^{\tau}} + \vec{a_{CO}^n}\)

  至于第四项, 可以发现他是同时因为原系转动和点在原系中的运动产生的, 称为科氏加速度\(\vec{a_c}\) , 具体计算式推导看书P198.

  那么就有 \(\vec{a_N} = \vec{a_O} + \vec{a_{CO}} + \vec{a_c}\)

刚体的运动

还是从简单的来, 先来说说只考虑当个刚体时的情况,

• 刚体的平动, 和点的平动没有区别.

• 刚体的仅转动, 说实话没什么好说的. 但是有一个小结论.

  可以发现的是, 刚体上任意一点的加速度有\(\vec{a} = \vec{a_\tau} + \vec{a_n}\) , 而由于刚体仅转动, 可求\(a_\tau = \beta*R , a_n = \omega^2*R\) , 而得到\(\frac{a_\tau}{a_n}=\frac{\beta}{\omega^2}\) , 观察一下这个是什么东东啊, 可以发现这个比值标示的是该点的全加速度与法向方向的夹角\(\theta , tan(\theta) = \frac{a_\tau}{a_n}\), 可以得到在转动的刚体上任意一点的\(\theta\)是相同的, 不与距离\(R\)相关.

  另外\(\vec{\omega} \times \vec{r} = \vec{v}\), 即角速度与位移的叉积是该点转动的速度.

• 刚体的平面运动, 可以发现的一件事情是, 任意平面运动都可以分解成平动与转动的混合. 对于平动与转动混合, 我们有两个思路去解析它的运动.

  • 基点法

    我们钦定一个基点为该刚体的转轴, 然后对该基点研究平动与转动, 该基点的运动即普通的点的运动, 而刚体其他点的运动可以分解为「基点的平动」与「相对于基点的转动」的叠加, 即有\(\vec{V_P} = \vec{V_O} + \vec{\omega} \times \vec{R_{OP}}\) .

  • 速度投影定理

    由基点法的思路, 可以发现\(\vec{\omega} \times \vec{R_{OP}}\) 这部分速度是始终垂直于OP连线的, 而前一部分\(\vec{V_O}\)不与距离R相关, 而又因为基点是我们任意钦定的, 可以得到刚体中任意两点的速度在连线上的投影相等.

  • 速度顺心法

    在基点法任取基点的时候, 可以发现的是我们总能找到速度为零的一点(选择与基点平动速度垂直的一条线, 然后根据平动速度大小和转动角速度求距离), 而可以证明速度为零的点必定存在且仅有一个, 我们在把基点选定到该点\(O'\), 使得其他点的速度为\(\vec{V_P} = \vec{\omega} \times \vec{R_{O'P}}\) , 这在一定程度上方便我们的解析. 我们也可以根据刚体上两点的速度方向分别做垂线, 相交即为\(O'\)点.

• 动量矩定理, 大物知识, 略.