02 2023 档案
摘要：我们考虑按照将所有的人分成若干个等价类，然后整组整组的考虑。 我们考虑使用生成函数来解决这个问题，设 $x_i$ 是第 $i$ 组得票的生成变量，生成函数的项 $x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ 表示第 $i$ 组得票 $k_i$ 的方案种数，$f_i$ 是第
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摘要：首先，对于 $\lceil \dfrac{x}{2}\rceil\ge b$，肯定选择前面的做划算 如果还有 $x\ge 2b$ $k1$ 没有了，贪心选前 $k2$ 大 $k2$ 没有了，贪心选前 $k1$ 大 对所有 $x$，$x\lt 2b$ 然后所有的数除以二之后都小于 $b$ 对于剩下的数
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摘要：\(\text{edu 22}\) \(\text{813A}\) 贪心 \(\text{813B}\) 指数枚举，排序 \(\text{813C}\) 博弈，\(\text{LCA}\) \(\text{813D}\) 无锡班发过的网络流、贪心 \(\text{813E}\) 主席树，静态树套树
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摘要：线段树分治。 我们发现这个形式就是线段树分治，那么我们就线段树分治。我们考虑如何在按秩合并并查集上维护二分图的关系。假设我们现在在同一个并查集中的 $x$ 和 $y$ 上连边，考虑它们到根的距离 $dep_x$ 和 $dep_y$，如果加起来是偶数，就会产生奇环，否则不会对图的二分性产生影响。而到根
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摘要：这道题的主流做法是主席树。 考虑离线怎么做，首先是莫队，但是很明显莫队很难往在线扩展。那么考虑线段树。 首先进行一些分析，我们可以对于每个 $a$，将第 $i$ 个 $a$ 和第 $i+k$ 个 $a$ 配对，那么如果 $[l,r]$ 中包含了 $k+s$ 个 $a$，则一共包含了 $s$ 个对。那
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摘要：按照思维难度加大和代码难度减小的顺序，我们来看这道题的不同做法。 若你无畏，我亦无畏 - 平衡树 平衡树简直是天然用来维护这种操作的——合并两个区间，提取一个值。我们可以对每个行的前 $m-1$ 位和最后一列各维护一棵平衡树。平衡树上二分得到要删除的数，将当前区间分成 左边 - 要提走的数 - 右边
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摘要：结构稳，01 分，枉划层，谁想锦衣自选人？不过贪婪座下臣。 $\text{Treap}$ 我们的第一个想法是用衣服贡献人。把衣服按照 ${-p_i,c_i}$ 为关键字排序，然后依次遍历衣服，看当前哪些人会买当前的衣服。 我们可以用 $fhqTreap$ 这样的数据结构维护所有的人的 ${b_i,a
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摘要：题意：现在有无穷多个位置（从 $1$ 开始），一开始都是 $0$，每次用 $1/0$ 覆盖一个区间或翻转一个区间的 $0/1$。现在给出操作，求每次操作结束后第一个 $0$ 的位置。 我们发现值域过大，不方便用数据结构维护，则考虑离散化。注意为了给可能存在的区间之间的空隙留下位置，例如 $[1,2]
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摘要：题意：每次插入/删除一个数，或询问当前所有数中异或上 $p$ 之后小于 $l$ 的有多少个。 看到动态最小化异或值的，我们首先想到 $\text{Trie}$，我们先建立一棵 $\text{Trie}$，在每个节点上保存当前节点子树的个数总和，就可以方便的 $O(\log a)$ 插入或者删除。 然
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摘要：题意：对于一个序列，令一个 $melody$ 为一个子序列满足子序列的相邻两项相差 $1$ 或者模 $7$ 同余。现在提取四个不重合的 $melody$，求最长总长度。 我们先考虑暴力的网络流，每个点拆成两个，中间流量 $1$，费用 $-1$，每个点朝着所有可以转移向的点连边。边数是 $O(n^2)
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摘要：题意：假设当前有 $n$ 个点，求最多的边数，使得桥的数量 $\ge\lceil\dfrac{m}{2}\rceil$。 我们考虑构造，首先，整张图一共只有一个双连通分量。因为我们如果有两个双连通分量，完全可以通过同构结合成一个。而从双连通分量之外的所有边都是桥，不妨假设它就是一条链。那么，链上有
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摘要：现在有 $n$ 次操作，每次将一个点设为黑色，或者查询：从当前点到任意黑点路径上最小值的最小值。保证第一次操作是设置黑点。强制在线。 我们考虑这样一个过程，我们把第一次操作的点设为根，从根出发进行 dfs，找到每个点到根的最小值 $a_x$。这样如果不增加新的黑点，查询 $x$ 点的答案就是 $a_
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摘要：题意：压缩字符串，把字符串分成若干个子串，每个子串可以被压缩成“循环次数 $+$ 循环节”的形式，求最小长度。 dp 求 lcp 先 $O(n^2)$ dp 求出所有后缀对的 $lcp_{x,y}$，（也可以 $\text{SA}$ $O(\log n)$ 求，但是本题 $n=8000$ 还有 $\
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摘要：题意：求带边权无向图上 $1$ 到 $n$ 的异或最短路，可以重复经过某条边。 首先，我们考虑从 $x$ 到 $y$ 的路径 $A$，它的权值是 $a$。我们从路径中途的某个地方离开路径，来到一个地方，然后回到这个路径（因为路径的结尾是 $y$，到 $y$ 的路径一定会回到这个 $A$）。 如果离开
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摘要：题意：在 $(x,y)$ 放一个哨兵，可以监视本行后面的所有格子直到障碍、本列后面所有的格子直到障碍。求使全盘最多一个位置不被监视的方案总数。 我们发现，因为 $nm\le 250$，所以 $\min(n,m)\le 15$。我们选择较小的这个作为 $n$，另一个作为 $m$ 进行状压。 设计状态
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摘要：题意：对于一个序列，每次随机选择两个数 $l,r$，如果 $l\gt r$ 就交换，求 $l,r$ 中本质不同的数个数的期望。 我们发现，在所有的 $n^2$ 个选择方案中，其实就是 $l<r$ 的区间，会被选择 $2$ 次，$l=r$ 的区间会被选择 $1$ 次。 如何计算呢？在同一个区间中，我们
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摘要：题意：有一颗树，每个点上有 $b_i$ 东西，从叶子往上的汇率是 $1:1$，从父亲往下的汇率是 $k:1$，求能否使每个点的东西都不少于 $a_i$。 我们发现，从上往下肯定是不划算的，我们一定优先从下往上。而且一条边只经过一次，因为给 $a$ 个拿回 $b$ 个会导致总量减少，是不优的。可以通过
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摘要：题意：对于若干个闭区间 $[l_i,r_i]$，它们构成了一个集合 $\bigcup_{i\le n}{[l_i,r_i]}$，求一个 $k$，使得 $\bigcup_{i\le n}{[l_i,r_i]}=\bigcup_{i\le n,i\ne k}{[l_i,r_i]}$。 我们可以区间覆盖，
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摘要：题意：对于一个字符串 $S$，有一些位置是被 $\text{Ban}$ 掉的。 对于这个字符串的所有子串，它的分数是（长度 $\times$ 在没有被 $\text{Ban}$ 掉的位置结尾的次数），求最大分数。 首先考虑 $\text{SAM}$，我们在 $\text{SAM}$ 上维护当前的 $
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摘要：题意：对于 $n$ 个人，每个人有一个分数，现在要把所有人分成四等，使得： 前三类都有人 前三类中，任意类的人数不大于其他类的人数的两倍 不能有 $i$ 的分数比 $j$ 高但是所属的等级不如 $j$ 定义 $d_i$ 是第 $i$ 类的最低分和第 $i+1$ 类的最高分的差，求最优的方案，按照 $
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摘要：我们发现这个题的数据范围、“字符和位置匹配”再加上一条奇怪的限制，长得就很网络流，那么就考虑如何用网络流做。 考虑重新解释一下这个题面，其实就是：给定一个字符集和 $n$ 个位置进行匹配，其中，字符 $ch$ 到位置 $i$ 的边和字符 $ch$ 到位置 $n-i+1$ 的边只能选一个。对于一个匹配
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摘要：题意：对于一个使用十六进制读入的 $01$ 矩阵，求其中 $1$ 的连通块个数，空间限制 16MB 。$n\le 2^{12},m\le2^{14}$ 我们认为如何读入是比较基础的内容，不作过多的介绍，具体请看代码。 离线下来怎么做 首先，如果不考虑空间限制，这题是比较简单的。我们可以直接在图上 D
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摘要：我们考虑 $\sum_{i=l}^r{f_i(x)}$ 是个什么东西。首先这个奇怪的东西很好离线做，所以尽管题目要求强制在线，我们还是离线下来试试。 我们发现，我们可以 $x$ 坐标从 $1$ 到 $200000$ 扫过去，对于每个 $f_i$，在 $x_{i,1}+1$ 和 $x_{i,2}+1$
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摘要：首先，我们发现这道题目“序列会增长”的情况完全就是唬人的，因为我们把 $x_i$ 输入之后，$y_i$ 永远是 $0$，而前导 $0$ 在计算的过程中没有任何的作用。所以可以直接原地做前缀和。 我们还发现，除了序列 $A^0$，其他的序列都是递增的（$A^i_j-A^i_{j-1}=A^{i-1}_
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摘要：数据范围 $5\cdot 10^3$，但是介绍一个 $O(n\log n)$ 做法。 我们考虑观察样例，发现样例都很小，而且 $\text{LCS}$ 的长度都是 $1$，那么我们就猜答案最多为 $1$，并尝试去构造。 我们画一个链，发现链上的统配解就是倒过来。那么我们考虑普通的树，我们发现，普通的
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摘要：组合计数问题是组合数学中重要的最古典的分支。有人将组合计数问题归为 $12$ 个集合映射问题。但是其中有 $2$ 个是平凡的，所以我们只研究 $10$ 个。 十二重计数法 在数学上，严谨的定义是“从一个集合对另一个集合的映射的个数”。但是我们可以用更简单的方法定义它：把 $n$ 个苹果装进 $m$
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摘要：组合数学的严格定义是非常困难的，其设计的内容广泛，分类困难，体系性较弱。不过，我们可以把组合数学按照问题、工具、对象三种方法进行分类，例如图论，就是按照研究对象分出的内容。 而别的分支，例如代数组合学，就是对一系列的代数对象，如生成函数、反演等进行研究。 我们认为最科学的分类方法是根据组合数学所解决
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摘要：欧拉五边形定理的内容： $$\prod_{n\ge 1}{(1-x^n)}=\sum_{n\ge 0}{(-1)^n x^{n(3n\pm 1)/2}}$$ 我们来介绍高斯的证法 考虑下面这个无穷积 $$F(z)=(1+x^1z)(1+x^1z^{-1})(1+x^3z)(1+x^3z^{-1})\
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摘要：现在我们考虑有一个序列 $(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots)$。我们将这个序列作为形式幂级数 $A(x)=\sum_{n\ge0}{a_{n} x^n}$ 的常数项序列。$A(x)$ 就是序列 ${a_i}$ 的生成函数。在生成函数中，类似形式幂级数，$x$ 的具体取值是
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摘要：欧拉五边形定理的内容： $$\prod_{n\ge 1}{(1-x^n)}=\sum_{n\ge 0}{(-1)^n x^{n(3n\pm 1)/2}}$$ 我们介绍欧拉的证明方法。 $$(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)=(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{
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