P、NP、NPC、NPH问题的区别和联系

P问题

　　如果一个问题能找到在多项式时间内解决它的算法，那么我们说该问题是P类问题。P是多项式（Polynomial）的第一个字母。比如排序问题就是一个P问题，因为我们可以找到一个时间复杂度为O(n2)O(n2)的冒泡排序算法。

NP问题

　　一些问题我们很难在多项式时间内找到解决问题的算法， 但是如果别人给了我一个解，我可以很快地验证该解是不是问题的正确答案。比如在汉密尔顿回路问题中，我想验证一条路径是否正确，则验证路径是否正确的时间复杂度为O(n)O(n)，为多项式级的时间复杂度。

　　也就是说直接找NP问题的一个解可能很慢，当验证NP问题的解却很快。

NPC问题

　　所有P问题都是NP问题，因为能在多项式时间内解决的问题也能够在多项式时间内验证解的正确性。

　　是否所有的NP问题都是P问题，这就是著名的“P对NP问题（P=NP?）”。在2000年美国的Clay数学研究所公布的七个千年数学难题中，P对NP问题位居榜首，可见解决该问题的难度。由于直接证明P对NP问题过于复杂，人们引入了另一类问题--NPC问题（NP -complete，NP-完全问题）。

　　规约

　　假设有两个问题A和B，对问题A的输入a经过某种规则转换为对问题B的输入b，而A(a)和B(b)的结果相同，也就是说我们可以将求解A问题转换为求解B问题，或者说可以用解决问题B的方法解决问题A，那我们称A可以归约（reducibility，或“约化”）到B。

　   超级NP问题

　　是否可以将若干相对不那么复杂NP问题不断归约，从而得到一个最难的“超级NP问题”，所有的NP问题都可以归约到这个“超级NP问题”，只要解决了这个“超级NP问题”，那么也就意味着所有NP问题都可以被解决。事实上，存在这样的一类“超级NP问题”，这也就是我们所说的NPC问题。

　　NPC问题的定义如下：如果一个问题Q，它满足以下两条性质：
(1). Q是NP问题
(2). 任一NP问题都可在多项式时间内归约到问题Q
那么我们说问题Q是NPC问题。

　　如果我们给NPC问题找到了一个多项式时间复杂度的算法，那么也就意味着我们给所有的NP问题找到了多项式时间复杂度的算法，从而NP=P，因为P=NP，所以“P对NP问题”就可以被解决。比如背包问题是NPC问题，如果我们给背包问题找到了一个多项式时间复杂度的算法，那么就证明了P=NP，但给NPC问题找一个多项式时间复杂度的算法太难了，所以现在人们普遍相信P≠NP。　　

NPH问题

上面我们介绍了NPC问题需要满足两条性质，当一个问题仅满足性质(2)，而不满足性质(1)时，我们说该问题时NPH问题（NP-hard，NP-难问题）。