小波分析与应用--听课笔记 Lecture 4

Chapter 7 Wavelet Bases

小波理论的核心问题：构造小波函数$\psi(t)$，使其经过二进制伸缩和平移后，所产生的的小波函数簇
$\left \{ \psi_{j,n}(t)=2^{-j/2}\psi(2^{-j}t-n) | j,n\in Z \right \}$
构成$L^{2}(R)$空间中的标准正交基。这时，对任意$f(t)\in L^{2}(R)$可表示为
$f(t)=\sum_{j\in Z}\sum_{n\in Z}\left \langle f,\psi_{j,n} \right \rangle \psi_{j,n}(t)$
并称$\psi(t)$为正交小波。$\left \langle f,\psi_{j,n} \right \rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\psi_{j,n}(t)dt$为$f(t)$的正交小波基。

小波空间与正交小波基

建立在多分辨分析的基础上，

正交小波的构造

Mallat 建立多分辨分析的目的是构造正交小波$\psi(t)$。下面，将从尺度函数$\phi(t)$和尺度滤波器$h[n]$出发，给出正交小波函数$\psi(t)$和小波滤波器$g[n]$的构造。

小波函数的双尺度方程
设$\psi(t)\in W_{0}$是正交小波函数。由于$\psi(t)\in V_{-1}=V_{0}\oplus W_{0}$.故$\phi(t)$可以有$V_{-1}$中的标准正交基$\left \{ \phi_{-1,n}(t)=\sqrt{2}\phi(2t-n)|n\in Z \right \}$表示，因此，下面小波函数的双尺度方程成立。

时域形式
$\psi(t)=\sqrt{2}\sum_{n\in Z}g[n] \phi(2t-n)$
其中，$g[n]=\left \langle \psi(t),\sqrt{2}\phi(2t-n) \right \rangle$，并称$g[n]$为小波滤波器
频域形式
$\hat{\psi}(\omega)\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{g}(\frac{\omega}{2})\hat{\phi}(\frac{\omega}{2})$，其中$\hat{g}(\omega)=\sum_{n\in Z}g[n]e^{-jn\omega}$。

例子
Haar正交小波
Haar多分辨分析$V_{j} = \{ f\in L^{2}[R]{\Large|}f\equiv {\rm Constant},t\in [ 2^{j}n,2^{j}(n+1)],n\in Z \}$
尺度函数
$\phi(t)=\left\{\begin{matrix} 1 &0\leq t<1 \\ 0 & {\rm otherwise} \end{matrix}\right.$
尺度滤波器：
$h[n]=\left \langle \phi(t),\sqrt{2}\phi(2t-n) \right \rangle=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} &n=0,1 \\ 0& {\rm otherwise} \end{matrix}\right.$
小波滤波器
$g[n]=(-1)^{1-n}h[1-n]=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} &n=0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}& n=1\\ 0& {\rm otherwise} \end{matrix}\right.$
Haar正交小波
$\psi(t)=\sqrt{2}\sum_{n \in Z}g[n]\phi(2t-n)=\sqrt{2}g[0] \phi(2t)+\sqrt{2}g[1] \phi(2t-1)=\left\{\begin{matrix} -1 & 0\leq t<\frac{1}{2}\\ 1&\frac{1}{2}\leq t<1 \\ 0& {\rm otherwise} \end{matrix}\right.$
Shannon 正交小波
Shannon多分辨分析：$V_{j}=\{f\in L^{2}(R){\Large |}{\rm supp}\hat{f}(w)\subset [-2^{-j}\pi,2^{-j}\pi] \}$
尺度函数：$\phi(t)=\frac{\sin \pi t}{\pi t}$,$\hat{\phi}(w)=\left\{\begin{matrix} 1 &-\pi\leq w\leq \pi \\ 0 & {\rm otherwise} \end{matrix}\right.$
尺度滤波器：$$

正交小波构造基本要求

基本要求

提供信号的稀疏表示
正交小波变换的大部分应用是依赖于信号在正交小波基下的稀疏表示。例如，正交小波变换应用于数据压缩和去噪等等。信号在正交小波基下的稀疏表示能力与小波函数$\psi(t)$的如下两个性质相关
$\psi(t)$的消失矩的大小
$\psi(t)$的支撑大小
$\psi(t)$的正则性
当正交小波变换用于图像压缩是，人们需要对小波系数进行阈值处理和量化，从而导致重构图像的重构误差。因为光滑的小波函数通常导致光滑的误差，所以重构图像具有更好的视觉质量。

消失矩

定义设$p \geq 1$为整数，如果对任意$0\leq k < p$,有
$\int_{-\infty}^{+\infty}t^{k}\psi(t)dt=0,\text{with} \ \int_{-\infty}^{+\infty}t^{p}\psi(t)dt \neq 0$
称$\psi(t)$具有$p$阶消失矩。
显然，$\psi(t)$具有$p$阶消失矩等价于$\psi(t)$与所有低于$p$阶的多项式正交。