小波分析与应用--听课笔记 Lecture 2
Chapter 2 Fourier Kingdom
- 连续时间LTI系统
补充数学描述：\(L:L^{2}(R)\rightarrow L^{2}(R)\)算子，映射
\(L:f\rightarrow g\) - LTI补充
线性算子\(L(\alpha f_ {1} + \beta f_ {2}) = L\alpha f_ {1} + L\beta f_ {2}\)
时不变算子： - LTI的卷积表示
$\delta(t)=0,t\neq 0,\int_ {R}\delta(t)dt=1 $广义函数，积分相等 或者内积。
线性时不变系统
- 卷积公式 设\(f(t),h(t) \in L^{2}(R)\)，则\(g(t)=f* h(t) \in L^{2}(R)\)，且\(\hat{g}(\omega)=\hat{f}(\omega)\hat{h}(\omega)\)。该系统是LTI系统（线性滤波器）分析和设计的基础
\(\left \langle f,g \right \rangle = \frac{1}{2\pi}\left \langle \hat{f},\hat{g} \right \rangle\) - 微分性质
\(\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(t)\)的傅里叶变换为 \((i\omega)^{n}\hat{f}(\omega)\) - 尺度变换性质
\(f(t)\in L^{2}(R)\ a\in R \ a \neq 0\)，则\(f(a)\rightarrow \frac{1}{|a|}\hat{f}\left( \frac{\omega}{a}\right)\) - 时移和频移性质
- \(f(t-t_{0}) \rightarrow e^{-j\omega x_{0}}\hat{f}(\omega)\)
- \(f(t)e^{j\omega x_{0}} \rightarrow \hat{f}(\omega-\omega_{0})\)
Discrete revolution
- Shannon 采样定理
\(f(t)\in L^{2}(R)\)连续时间信号
\(f[n] = f(nT), n\in Z\)
采样带门限\(\hat{f}(w)=0,|w|>w_ {M}\)，频域紧支撑
\(f_ {s} = \frac{1}{T}\)采样频率
\(w_ {s} = \frac{2\pi}{T}\)角频率
Chapter 4 时频分析
时频分析的研究内容：理解和描述非平稳信号的频率怎样随着时间变化的数学和物理思想。
非平稳信号，频率成分随时间变换。
- 音乐和语音信号，人们关心的是什么时刻演奏什么音符，发出什么样的音调。
- 对于图像识别中的边缘检测，人们关心的是信号的突变部分的位置
- 对于地震波的记录，人们关心的是什么位置，出现什么样的反射波
对上述问题，人们可以通过相应位置的频谱信息来识别他们。因此，为了更清晰的理解和刻画非平稳信号，人们最希望得到的是信号频谱随时间变化的情况，这就需要简历信号的联合时频表示。
目前，时频分析已经成为非平稳信号分析和处理的最重要的工具之一。特别的，时频分析用于多分量震荡信号的分析和处理。对于多分量震荡信号，瞬时频率的概念提供了一个强有力的特征刻画，它可以充分描述信号所对应的一些物理现象。
线性时频表示与测不准原理
线性时频表示（经典）：1 STFT；2 CWT
二次时频表示
\(\Phi (r)=\left \langle f,\phi_{\gamma} \right \rangle,\gamma\in \Gamma\)
使用时频原子进行局部化。
\(\Phi_{\gamma}(t)\in L^{2}(R)\),\(\left \| \Phi_{\gamma} \right \|=1\)
- 时频原子
\(\phi(t)\in L^{2}(R), \| \phi\|=1\)。如果\(\phi(t)\)和它的Fourier变换\(\hat{\phi}(\omega)\)均快速衰减，则是时频原子 - 时频字典
\(D=\left \{ \phi_{\gamma}(t) \right \}_ {\gamma\in \Gamma}\)为\(L^{2}(R)\)空间中的字典，\(\Gamma\)为参数集。如果对任意\(\gamma \in \Gamma\)，\(\phi_{\gamma}(t)\)均为均为时频原子，则称\(D=\left \{ \phi_{\gamma}(t) \right \}_ {\gamma\in \Gamma}\)为时频字典。
一般情况下，\(\gamma\)控制着时频原子\(\phi_{\gamma}(t)\)（a）时频窗口的中心位置；（b）时频窗口的大小和形状
连续小波变换的时频字典
连续小波变换
\(Wf(u,s)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^{* }(\frac{t-u}{s})dt=\left \langle f(t), \psi(\frac{t-u}{s})\right \rangle\)，\(u\in R,s
in R^{+}\)的时频字典为
\(D=\left \{ \psi_{u,s}(t)=\frac{1}{\sqrt{s}}\psi(\frac{t-u}{s})|u\in R,s>0 \right \}\),因此，连续小波变换的时频字典，是通过小波函数\(\psi(t)\)的平移和伸缩产生的。由于小波函数\(\psi(t)\)通常是时频局部化，并且\(\hat{\psi}_ {u,s}(\omega)=\sqrt{s}\hat{\psi}(s\omega)e^{-iu\omega}\),因此\(\psi_{u,s}(t)\)也是时频局部化的。
信号的时间中心、频率中心、时宽、带宽和Heisenberg箱
为了定量的描述时频原子\(\phi_{\gamma}(t)\)的视频局部化性质，下面引入\(\phi_{\gamma}(t)\)的时间中心、频率中心、时宽和带宽的概念，它们分别表示\(\phi_{\gamma}(t)\)在时域和频域中心位置以及两个域内的扩展情况。
- 时间中心与时宽
由于\(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\left |\phi_{\gamma}(t) \right |^{2}}{\left \| \phi_{\gamma} \right \|^{2}}=1\)，故\(\frac{\left |\phi_{\gamma}(t) \right |^{2}}{\left \| \phi_{\gamma} \right \|^{2}}\)可视为在\(R^{1}\)上取值的某随机变量\(X\)的概率密度函数。因此可以定义\(\phi_{\gamma}(t)\)的时间中心和时宽分别如下
- \(\phi_{\gamma}(t)\)的时间中心\(u_{\gamma}\):\(u_{\gamma}=\frac{1}{\left \| \phi_{\gamma} \right \|^{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}t\left | \phi_{\gamma}(t) \right |^{2}dt\)
- 时宽 相当于方差 \(\sigma_{t}=\frac{1}{\left \| \phi_{\gamma} \right \|^{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}(t-u_{\gamma})^{2}\left | \phi_{\gamma}(t) \right |^{2}dt\)
\(\phi_{\gamma}(t)\)能量主要集中在\(\left [ u_{r}-\frac{\sigma_{t}}{2},u_{r}+\frac{\sigma_{t}}{2} \right ]\)
- 频率中心与带宽
- 频率中心\(\xi_{\gamma}=\frac{1}{2\pi \left \| \phi_{\gamma} \right \|^{2}}\int_{R^{1}}\omega\left | \hat{\phi}(\omega) \right |^{2}d\omega\)
- 带宽\(\sigma_{\omega}\): \(\sigma_{\gamma}^{2}=\frac{1}{2\pi \left \| \phi_{\gamma} \right \|^{2}}\int_{R^{1}}(\omega - \xi_{\gamma})^{2}\left | \hat{\phi}(\omega) \right |^{2}d\omega\)
\(\hat{\phi}_ {\gamma}(\omega)\)能量集中在\(\left [ \xi_{\gamma}-\frac{\sigma_{\omega}}{2}, \xi_{\gamma}+\frac{\sigma_{\omega}}{2} \right ]\)
-
Heisenberg 箱
面积\(\left [ u_{r}-\frac{\sigma_{t}}{2},u_{r}+\frac{\sigma_{t}}{2} \right ] \times \left[ \xi_{\gamma}-\frac{\sigma_{\omega}}{2}, \xi_{\gamma}+\frac{\sigma_{\omega}}{2} \right ]\),最小面积\(\frac{1}{2}\). -
测不准原理
\(\sigma_{t}\sigma_{\omega}\geq \frac{1}{2}\)
窗函数对谱图的影响 -- 测不准原理
使用短时Fourier变换是，信号的特性收到窗函数性能的扰乱。从而，我们使用谱图得到的一些结果，它并不完全是信号的信息。因此，我们必须小心解释这些结果，并试图摆脱窗的影响。另一方面，在短时Fourier变换定义中，窗函数和信号基本是对称的，因此，必须当心，我们没有使用信号来研究窗函数。
这里，仅仅考虑窗宽对谱图的影响。首先，考虑两个典型的例子。
- 正弦信号\(f(t)=e^{j\xi_{0}t}\)
短时Fourier变换\(Sf(u,\xi)=\hat{g}(\xi - \xi_{0})e^{-iu(\xi -\xi_{0})}\)
谱图\(\left | Sf(u,\xi) \right |^{2}=\left | \hat{g}(\xi - \xi_{0}) \right |^{2}\)
在理想情况下，正弦信号\(f(t)=e^{j\xi_{0}t}\)的时频表示，应为时频平面上沿\(\xi = \xi_{0}\)的一条冲击线函数，即任意时刻\(t\)的切片均为同一冲击谱。然而，事实并非如此。谱图\(\left | Sf(u,\xi) \right |^{2}\)的能量集中在它的峰值处\(\xi = \xi_{0}\)的周围，形状像山脊，根据测不准原理可知，窗口越窄，谱就越宽，谱图的时间分辨率越高，频率分辨率就越低；窗口越宽，谱就越窄，谱图的时间分辨率越
永远记住，在使用短时Fourier变换时，信号的特性收到窗函数性能的扰乱
几个经典的窗函数
Gaussian窗函数适用于瞬态信号分析；Hamming和Hanning窗函数可用于窄带信号分析；Kaier-Bessel窗函数适用于更好的分离两个频率成分非常接近但是振幅完全不同的信号。
在实际数值实现中，需要使用紧支撑窗函数。一般情况下，窗函数不是紧支撑的，故必须对它进行有限截取。因为截取后的窗函数\(g(t)\)具有有限支撑，所以根据Fourier变换的性质知道\(\hat{g}(\omega)\)具有无限支撑，并且震荡衰减到零。因此，为了极大化短时Fourier变换的频率分辨率，\(\hat{g}(\omega)\)的能量必须尽可能的聚集于其主瓣内。
- 高斯窗: \(g(t)=\left\{\begin{matrix} e^{-18t^{2}} &\left | t \right |\leq \frac{1}{2} \\ 0 & \text{otherwise} \end{matrix}\right.\)
- Hamming Window: \(g(t)=\left\{\begin{matrix} 0.54+0.46\cos(2\pi t) &\left | t \right |\leq \frac{1}{2} \\ 0 & \text{otherwise} \end{matrix}\right.\)
- Hanning Window: \(g(t)=\left\{\begin{matrix} \cos^{2}(\pi t) &\left | t \right |\leq \frac{1}{2} \\ 0 & \text{otherwise} \end{matrix}\right.\)
- Blackman Window: \(g(t)=\left\{\begin{matrix} 0.42+0.5\cos(2\pi t) +0.08\cos(4\pi t)&\left | t \right |\leq \frac{1}{2} \\ 0 & \text{otherwise} \end{matrix}\right.\)
